Математических трудностей

При технологическом проектировании широко применяют математические модели. Для их построения используют различные математические средства описания объекта — теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и др. Под математической моделью технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в действительных производственных условиях,

Первым этапом методики прогнозирования является .разработка математических моделей агрегатов-источников ВЭР и утилизационных установок для возможных стратегий перспективного развития. Математические модели технологических процессов строятся на основе данных статистического анализа или с использованием математических соотношений, вытекающих из физической природы процессов (уравнений материального, теплового баланса и т. п.). При этом простые аналитические модели позволяют вчерне разобраться в основных закономерностях явлений, а любое дальнейшее уточнение может быть получено статистическим моделированием. В этом заключается дуализм использования математических моделей технологических процессов, которые, с одной стороны, являются неотъемлемой частью всего комплекса методов принятия решений в условиях неопределенности, а с другой стороны, будучи использованы в качестве самостоятельных объектов исследования, эти модели позволяют получить ряд полезных результатов. Путем варьирования различных параметров (входных по отношению к моделируемому процессу) может быть оценен целый ряд функциональных зависимостей, а также получаемые при возмущениях на входе изменения параметров на выходе системы (к которым относятся, в частности, удельные показатели выхода и выработки энергии на базе ВЭР).

Принцип работы гидравлического интегратора основан на аналогии математических соотношений, описывающих распределение температуры в твердом теле и распределение напоров в воде, движу-щейсячерез гидравлическое сопротивление при ламинарном режиме. При этом могут быть решены не только уравнения теплопроводности

В зависимости от метода получения математических соотношений различают модели: статистические, основанные на описании физических и химических явлений, и смешанные.

Под математической моделью технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производственных условиях. При построении математических моделей используют различные математические средства описания объекта — теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и др.

Описание математических соотношений на уровнях структурных, логических и количественных свойств принимает конкретные формы в условиях определенного объекта. Например, множество параметров, влияющих на выбор скорости резания при различных методах обработки, можно представить в виде

Ввиду отсутствия до настоящего времени математических соотношений, которые позволили бы определять величину местных гидравлических потерь исходя из геометрических размеров арматуры и режима течения жидкости, при расчетах гидросистем приходится пользоваться практическими данными по коэффициенту ?. Зависимостью этого коэффициента от числа Re обычно пренебрегают, принимая величину его для данного местного сопротивления постоянной независимо от значения Re. Это позволяет считать потерю напора от местного сопротивления пропорциональной квадрату средней скорости жидкости на входе в рассматриваемое сопротивление.

Основные понятия и задачи математического моделирования. Математическая модель — совокупность математических соотношений (формул, уравнений, неравенств и логических условий), отображающих физические связи между входными, промежуточными и выходными параметрами реального объекта. Математические модели сложных систем, к которым относятся и ТЭС ПП, обычно имеют блочную структуру.

Математическая модель тепловой схемы — это совокупность параметров и математических соотношений (уравнений, неравенств, логических условий и др.), описывающих процессы в технологическом оборудовании установки с детализацией, отвечающей поставленным задачам.

элемент (ДЭ) — демпфер и инерционный элемент (ИЭ) — масса. Отличительной чертой этих элементов является простота математических соотношений, связывающих переменные двухполюсника.

Математическая модель тепловой схемы — это совокупность параметров и математических соотношений (уравнений, неравенств, логических условий и др.), описывающих процессы в технологическом оборудовании установки с детализацией, отвечающей поставленным задачам.

Описанный способ получения точечных отображений применим для любых кусочно-линейных динамических систем второго порядка и в более общем случае, когда фазовая плоскость разбивается на три, четыре и большее число областей. Однако практические трудности в решении задачи при этом возрастают из-за громоздкости получаемых выражений. Лишь с созданием быстродействующих электронно-вычислительных машин появились новые возможности для преодоления математических трудностей при решении не только этих, но и более сложных и громоздких задач. Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта,

При решении задач ламинарного потока вследствие математических трудностей широко применяются различного вида линеаризации системы уравнений движения, чаще всего заключающиеся в замене производных

Вследствие математических трудностей, возникающих при расчете сжимаемых закрученных потоков в каналах переменного сечения, подавляющее большинство исследований выполнено для стационарного, невязкого изоэнтропного течения. Поэтому полученные решения могут рассматриваться в качестве верхнего предела, который может быть достигнут в потоках с закруткой.

Рассматриваемый здесь подход к вычислению эффективных модулей композиционных материалов основан на понятии представительного элемента объема, т. е. такого элемента, в котором все усредненные по объему компоненты тензоров напряжений и деформаций равны соответствующим величинам, вычисленным для композита в целом. Из-за математических трудностей решение задачи в микромеханической постановке обычно доводится до конца только для сравнительно простых композитов, например для бесконечной упругой матрицы, армированной одинаковыми параллельными упругими волокнами, образующими двоякопериодическую систему. Исключением из этого общего правила является работа Сендецки [17], в которой решена задача о продольном сдвиге матрицы, армированной произвольно расположенными волокнами произвольного диаметра. Поскольку приведенное выше математическое определение эффективных модулей отличается от физического определения, основанного на экспериментально наблюдаемых усредненных по поверхности значениях компонент тензоров напряжений и деформаций, важно понимать, что между этими двумя определениями существует связь, устанавливаемая в результате микромеханического исследования (см. разд. V).

Определяющие уравнения упругопластического поведения, включая закон течения Прандтля — Рейсса, были приведены в разд. II, В, основной результат представлен зависимостью (22). Так как компоненты девиатора напряжений 5ц и октаэд-рическое касательное напряжение TO, представляющие собой функции от ац и ЕЦ, входят в эту зависимость нелинейно, уравнение (22) является нелинейным. Во избежание математических трудностей, возникающих при решении системы нелинейных уравнений, можно применить способ пошагового приложения внешних воздействий. Если на каждом шаге приращения нагрузки достаточно малы, то как нелинейные коэффициенты, содержащие s,,- и TO, так и линейно входящую величину Мт можно считать постоянными, равными соответствующим значениям в начале этого шага. Таким образом, при помощи процедуры пошагового нагружения нелинейная задача приводится к последовательности линейных задач. Регулируя допустимую величину приращения нагрузки, можно изменять величину интервала, на котором эта последовательность хорошо аппроксимирует исходную задачу.

Такие уравнения (уравнения интенсивности тепло- и массо-обмена) получены в настоящей работе, и на их основе могут быть разработаны способы определения локальных характеристик и полей скоростей, температур, концентраций сред в контактных аппаратах. Однако задача эта представляется очень сложной, так как помимо математических трудностей имеются специфические осложнения, связанные с нечеткостью, неопределенностью формы и размеров, полидисперсностью поверхности контакта, ее стохастическим характером, разнонаправленностью процессов на поверхностях различной кривизны. В настоящее время не существует чисто аналитических методов расчета взаимосвязанного тепло- и массообмена в контактных аппаратах. Даже в хорошо разработанных математических моделях применяются эмпирические зависимости [20].' Более того, отсутствуют и достаточно общие инженерные методы расчета, которые базировались бы на теории подобия.

Наряду с задачей об упорядоченности в функции температуры, существует также проблема зависимости упорядоченности от состава сплава. Этот вопрос в большинстве исследований не затрагивается из-за математических трудностей, которые имеют место даже в сравнительно простом случае концентрации порядка. Особенно интересным является воможность непрерывного перехода существенно упорядоченного сплава одного состава к сплаву другого состава. Такой непрерывный переход найден, например, в системе Со — Те и Ni — Те согласно рентгеновским исследованиям Тегнера [367]. Сплав имеет состав СоТе с существенно упорядоченной структурой типа NiAs. При добавке теллура простая решетка атомов теллура остается практически неизменной, тогда как в простой решетке кобальта возникают вакансии. Если концентрация вакансий сравнительно невелика, они распределяются беспорядочно. Однако при достижении состава Со:Те = 1:2 появляется существенно упорядоченная простая решетка атомов кобальта, как это показано на рис. 19. Теоретические вычисления таких термодинамических величин, как активности и парциальные молярные энтальпии, в настоящее время еще отсутствуют.

Решение практических задач, связанных с применением преобразований случайных функций,.встречает ряд математических трудностей. Поэтому во многих случаях удобно оперировать со случайными функциями, представленными в виде разложения с некоррелированными слагаемыми. Одним из таких представле-.ний является метод канонического представления случайной функции, разработанный В. С. Пугачевым [51].

Получение общего решения этой системы дифференциальных уравнений, описывающих нестационарное турбулентное движение в пучке витых труб, невозможно из-за больших математических трудностей, учитывая, что решение задач нестационарного теплообмена требует рассмотрения одновременно с уравнениями, описывающими движение теплоносителя, и уравнений теплопроводности в твердом теле, т.е. в стенках витых труб.

В отдельную группу можно выделить методы анализа динамики гидросистем с распределенными параметрами (упругостью, массой, а иногда и сопротивлением). Эти методы развиваются в первую очередь для систем гидропрессов, в которых стремятся получить большие ускорения движущихся масс и не боятся ударов, и для гидропередач раздельного исполнения с длинными трубопроводами. Математический аппарат, используемый при этих исследованиях, весьма сложен, так как приходится решать дифференциальные уравнения в частных производных. Но они позволяют учесть распространенные волны давления по трубопроводу и выявить реакцию системы на высокочастотное возбуждение. Из-за математических трудностей решают пока частные задачи с ограниченным (один, два) количеством участков магистралей, в которых учитывается распределение жидкости по длине магистрали, для линейной модели гидросистемы [12, 27, 42, 45, 54, 58, 59, 64, 67].

При составлении расчетных формул для характеристик надежности воспользуемся некоторыми результатами, изложенными в § 2.6 и 5.3. Общая последовательность действий при получении формулы для вероятности срыва функционирования такова: сначала по формулам (2.6.39) и (2.6.1) находим изображение Р** (s, со) для вероятности безотказного функционирования одноканальной системы с. минимальным временем выполнения задания t'3; затем выполняем переход к P**i(s, со) по формуле (2.2.30) и обратное преобразование по t. Полученную при этом функцию P*i(s, t) подставляем в (5.4.1) и находим Q*i(s, /, т). Далее переходим в область оригиналов по t'3 и заменяем t'a на mta. Ввиду серьезных математических трудностей выполнить указанные процедуры удается далеко не всегда.