Математическими ожиданиями

Процесс изнашивания деталей зависит от большого числа факторов, влияние которых трудно выразить в виде математических зависимостей. Это затрудняет создание обоснованных методов расчета, и поэтому сопротивление деталей изнашиванию часто оценивается по значению допускаемого удельного давления р на поверхности трения и по величине pv, пропорциональной работе сил трения, где v — скорость скольжения.

Счетно-решающими механизмами называются механизмы, которые применяются для воспроизведения математических зависимостей.. Они используются в вычислительных-машинах непрерывного действия, в автоматических и кибернетических системах.

Накопление представительных данных по скорости сернокислотной коррозии воздухоподогревателя при циклонном сжигании мазута позволит использовать обе методики для нахождения математических зависимостей, описывающих закономерности коррозионных процессов поверхностей ТВП и РВП.

Способы расчета влияния, оказываемого на трубопроводы, неоднократно освещались в литературе [8—15]. Для оценки влияния целесообразно использовать продольную напряженность поля Е (разность напря-жений на единице длины), наведенного в идеально изолированном проводнике, и параметры (характеристики) трубопровода. Вывод математических зависимостей на основе теории проводимости подробно рассмотрен в литературе [13]. При допущениях, что:

вида тех или иных зависимостей, например функций, сглаживающих линий регрессии и экстраполирующих их до предельного состояния, закона распределения статистических данных и т. д. Получаемые на основе таких данных показатели надежности, естественно, будут иметь погрешности и невысокую достоверность. Для ее повышения требуются иные подходы, базирующиеся на знании физико-математических зависимостей расходования ресурса изделий или их процессов деградации (старения), соответствующих эксплуатационным условиям.

Это направление Ф. Е. Орлова было продолжено самим Жуковским. В его научное творчество органически вошли и вопросы теории механизмов, которыми он занимался уже с начала 80-х годов. Особенно интересовался Жуковский шарнирными механизмами. Начиная с 1883 г., когда была опубликована его работа «Приложение теории центров ускорений высших порядков к направляющему механизму Чебышева», последовали работы, посвященные шарнирным механизмам для решения уравнений высших порядков, механизмам для выражения определенных математических зависимостей, и ряд других.

Пример и авторитет Сильвестра вызвали в Англии интерес к теории шарнирных механизмов, и, в частности, к теории механизмов, служащих для воспроизведения определенных математических зависимостей. В 1874 г. появились первые публикации Г. Гарта, который создал новый тип инверсора на основе антипараллелограмма, составленный из шести звеньев. Ряд работ по теории механизмов для решения алгебраических уравнений написал А. Б. Кемпе. Вместе с Сильвестром он работал над созданием инверсора. Кемпе сформулировал и доказал теорему о возможности воспроизведения алгебраической кривой любого порядка кинематической цепью, образованной при помощи только низших кинематических пар. Эти кинематические цепи Кемпе рассматривает как совокупность кинематических цепей, каждая из которых воспроизводит элементарное геометрическое или алгебраическое действие.

Покажем на примере, что применение адаптированных математических зависимостей производительности, предназначенных для теоретического анализа при проектных инженерных расчетах, может привести к существенным ошибкам.

Надо иметь в виду, что если в процессе решения поставленной задачи необходимо рассматривать только определенного вида ремонты или только замены, или работы по техническому уходу, то тогда под отказом следует понимать только эти работы. Такое обобщение понятия отказа мы используем для экономии изложения при установлении математических зависимостей, придавая последним большую общность. Так, например, если решается задача по определению числа капитальных ремонтов в некотором планируемом промежутке, то под обобщенным понятием отказ следует понимать :в данном случае постановку машин в капитальный ремонт, исключая из рассмотрения другие ремонтные воздействия. Если же определяется число текущих ремонтов, то под отказом следует иметь в виду моменты проведения текущих ремонтов и т. д.

Установление математических зависимостей для системы элементов покажем на примере парка однотипных машин (например, автомобилей, комбайнов или тракторов) . Этот парк непрерывно пополняется за счет поставок новых машин и, кроме того, из него выбывают изношенные машины, прошедшие несколько восстановлений (ремонтов).

Поставки новых машин определяют соответствующими планами и поэтому могут быть представлены в виде некоторой функции от времени или таблицей годовых поставок. Будем в дальнейшем через M(t) обозначать функцию суммарных поставок (число машин, поставленных за время t от начала функционирования парка), а через v(t)—их интенсивность, т. е. число машин, поставляемых в единицу времени в момент t (рис. 3). Будем предполагать, что поступление новых машин происходит во времени непрерывно. Хотя в действительности пополнение происходит дискретно, в некоторые моменты времени, такое рассмотрение для получения математических зависимостей неудобно, так как приводит к громоздким записям, которые не оказывают практически заметного влияния на результаты вычислений. Следует заметить, что при перспективных расчетах

где коэффициенты а/ являются нормально распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями пга . и среднеквадратичными отклонениями оа-.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу. Требуется определить область, внутри которой может находиться точка К (см. рис. 6.6) в фиксированный момент времени, если к стержню внезапно приложили случайные силу и момент с математическими ожиданиями, равными нулю, т. е. тр=тт=0.

Считая, что амплитудные значения и, &МХ,0 и AQ*2o имеют нормальное распределение с нулевыми математическими ожиданиями, получаем их максимальные значения

Новожилов В. В., О связи между математическими ожиданиями тензоров напряжения и деформации в статистически изотропных упругих телах, Прикл. матем. и мех., 34, № 1 (1970).

в котором аргументы в частных производных заменяются соответствующими математическими ожиданиями XQ, у^. Отсюда для дисперсии частного двух случайных величин

не только в результате отказа, но и профилактически по истечении определенной наработки или продолжительности эксплуатации. Именно срок проведения планово-предупредительного ремонта является в этой задаче инструментом управления, поскольку иначе влиять в ходе ее решения на заданные характеристики безотказности невозможно. Периодичность проведения планово-предупредительных ремонтов может быть назначена через определенный срок, однако реально сроки проведения таких ремонтов рассеиваются по организационным причинам около своих средних значений, так что фактически приходится иметь дело с распределением этих сроков. Плотности этих распределений обозначим fa(t) и gn(t), а математические ожидания сроков профилактических ремонтов Гдп и 7\,п соответственно. В дальнейшем будем считать, что, задавая те или иные значения Гдп и Тми, задаем и законы распределения сроков постановки машин в профилактический ремонт. Этим подразумевается [см. примечание к формуле (84)], что вид распределения fn(0 и gn(0 известен, и он не меняется с изменением нормативных значений Тяп и Гмп, и что коэффициенты вариации сроков профилактических ремонтов связаны с их математическими ожиданиями заданной функциональной зависимостью (в первом приближении постоянны).

Наиболее подходящей областью применения этого метода являются задачи, носящие существенно вероятностный характер. В них определяемые величины по смыслу являются математическими ожиданиями.

С ростом износа увеличиваются составляющие сил резания [6], т. е. возрастают силы нормального давления на поверхностях контакта. Это приводит к сближению контактирующих поверхностей, которое определяет изменение расстояния между математическими ожиданиями распределений шероховатостей контактных поверхностей инструмента и детали. Таким образом, в выражении (2) повысится величина g0, период Т уменьшится, а число импульсов п, которые определяются величиной взаимного проникновения микронеровностей, т. е. толщиной контактного слоя, увеличится. Это означает, что с ростом износа возрастает интенсивность колебаний, генерируемых взаимодействием микронеровностей на единице площади во всех частотных диапазонах спектра S (со).

Случайные функции Nk (t) в общем случае описывают коррелированные нестационарные гауссовские случайные процессы, которые можно аппроксимировать б-коррелированными процессами с равномерными спектральными плотностями в достаточно широком диапазоне частот (так называемые «урезанные», физически реализуемые «белые» шумы) с математическими ожиданиями (Nk (t)) и интенсивностями 0% (t).

Рассмотрим более сложный случай, когда нелинейные функции являются, в свою очередь, стохастическими с заданными условными математическими ожиданиями и корреляционными функциями. Допустим, что динамическая система описывается нелинейным уравнением

Если время замены неисправной подсистемы велико и им нельзя пренебречь, то можно определить нижнюю оценку вероятности (I), заменив в соответствии с неравенством Иенсена /^/ длительности замены их математическими ожиданиями. В этом случае длительность проверки системы также равна максимальной ожидаемой длительности проверок подсистем, контролируемых при заданной проверке системы.