Математическими трудностями

В этом разделе мы рассмотрим стационарный отклик вяз-коупругой среды, пренебрегая влиянием внешних границ. Такое упрощение удобно при исследовании композиционных материалов, поскольку оно дает возможность изучить основные эффекты неоднородности минимальными математическими средствами. Для того чтобы преобразовать упругое решение (с учетом микроструктуры или без ее учета) в вязкоупругое, можно по-прежнему использовать принцип соответствия. Более того, как следует из предыдущих рассуждений, решение существенно упростится, если предположить, что тангенсы углов потерь компонентов достаточно малы. Выяснение смысла этого предположения и краткий обзор существующей литературы составляет основное содержание данного раздела,

При изыскании новых путей автоматизации средств тепловой микроскопии необходимо учитывать вопросы стандартизации и унификации аппаратуры, а также максимального сопряжения установок с математическими средствами обработки результатов эксперимента. Схема принципиально возможной, полностью автоматизированной системы проведения исследований на установках для тепловой микроскопии представлена на рис. 2. Как видно из рассмотрения данной схемы, автоматизация обработки информации, получаемой по всем трем основным каналам, должна предусматривать наличие специального блока обработки экспериментальных данных 7, включающего в себя малогабаритную электронную вычислительную машину и систему ввода данных, полученных с помощью блока аппаратурного анализа микроструктуры II, блока регистрации изменений физических характеристик ///иблока регистрирующих механических свойств IV, а также дополнительные устройства для печатания (телетайп) V и графической выдачи результатов VI.

с бригадным, групповыми или индивидуальными заданиями. Анализ ее надежности проводится теми же математическими средствами, что и для одноканальных систем. Однако из-за увеличения размерности разностных уравнений не всегда удается довести результаты до аналитических расчетных формул.

Аналитическое исследование колебаний систем с одной степенью свободы, т. е. таких систем, положение или состояние которых определяется лишь одной величиной (координатой), зависящей от времени, выполняется относительно простыми математическими средствами. К числу таких систем относится маятник, положение которого однозначно определяется, например, углом отклонения его от равновесного состояния. При исследовании вертикальной качки корабля, не сопровождаемой боковыми и килевыми колебаниями, можно рассматривать корабль как систему с одной степенью свободы, а в качестве координаты, определяющей произвольное положение корабля, принимать вертикальное перемещение, например центра тяжести судна, отсчитываемое от положения его на тихой воде.

Труды Ю. А. Шиманского по теории сопротивления материалов характеризуются общей направленностью: они отвечают на большие или малые вопросы, возникающие в практике судостроения, законченными рациональными решениями, которые достигаются относительно простыми математическими средствами, базирующимися на глубоких технических идеях. В связи с этим уместно вспомнить мысли его близкого друга академика В. И. Смирнова, высказанные на совещании, посвященном улучшению математической подготовки инженерных кадров: «В математике мало идей, но много формул. Мы старательно обучаем студентов формулам, а вот идеи не всегда доводим до них». Доведение физической идеи процесса до сознания инженера, исчерпание ее потенциальных возможностей на базе простой схемы, в которой расчетные формулы повышают восприимчивость и наглядность явления, придавая ему количественную оценку, служили руководящими принципами всей научной и инженерной деятельности Юлиана Александровича Шиманского.

При обсуждении практического использования энергетических критериев для оценки свойств металлов и сварных соединений необходимо различать две стороны этой проблемы. Одна связана с физикой, а точнее с механикой протекания процесса пластической деформации на различных стадиях разрушения конструкции и корректным ее воспроизведением в лабораторных условиях на образцах. Другая сторона проблемы связана с техническими и математическими средствами регистрации и обработки происходящих процессов и получаемых результатов.

Эта глава посвящена вычислительным методам, предназначенным для исследования трещинообразных дефектов (разрывов сплошности) с произвольной конфигурацией фронта, возникающих в трехмерных конструкционных элементах. В большинстве случаев в данной главе мы будем считать, что конструкцию можно рассматривать как трехмерное линейно-упругое однородное тело. Изучаются как внутренние, так и поверхностные дефекты. В инженерных конструкциях поверхностные дефекты наиболее часто встречаются в области больших градиентов напряжений. Вот некоторые примеры: поверхностные дефекты в пластине, подвергнутой воздействию растягивающих и изгибающих нагрузок, поверхностные дефекты в области крепежных отверстий, дефекты на внутренних или наружных поверхностях сосудов высокого давления, поверхностные дефекты в области соединения трубчатых насадков с сосудами высокого давления и т. п. Форма этих дефектов часто может быть аппроксимирована математическими средствами с помощью части эллипса или окружности. Однако математическая идеализация поверхностных дефектов с помощью половины или четверти эллипса может в иных случаях оказаться неработоспособной. Для обеспечения длительной и безопасной работы конструкции поверхностные дефекты произвольной формы должны рассчитываться с учетом эксплуатационных нагрузок.

возможность непосредственного расчета коэффициентов интенсивности напряжений вдоль фронта дефекта, имеющего произвольную конфигурацию, при комбинированном типе нагруже-ния. Параграф 4 посвящен трехмерной линейно-упругой механике разрушения, использующей метод граничных элементов, основанный на сингулярных решениях уравнений Навье, описывающих равновесное состояние твердых тел без трещины. Параграф 5 касается методов суперпозиции, применяемых в общем случае для решения трехмерных задач линейной механики разрушения и, в частности, метода альтернирования Шварца — Неймана. Последний подход, используемый в сочетании с методами конечных или граничных элементов для расчета напряжений в твердом теле без трещины, как показано, является наиболее эффективным способом исследования поверхностных дефектов, форму которых можно представить математическими средствами. В главе приведены примеры, иллюстрирующие описанные методы. Глава заканчивается выводами, собранными в §6.

Однако последние разработки альтернативных методов, которые будут рассмотрены в § 4 этой главы, позволяют обходиться без гибридных трещинных элементов при условии, что форма дефекта может быть представлена математическими средствами, т. е. ее можно описать эллипсом, окружностью или их частями. Тем не менее при необходимости моделирования дефектов произвольной формы рассмотренные выше гибридные трещинные элементы по-прежнему остаются незаменимыми [24, 25, 42]. В качестве примера приводим расчет дефекта, расположенного в угловой части насадка, показанного на рис. 4, проведенного с помощью программы NOZ-FLAW, в которой использованы гибридные трещинные элементы. О геометрии насадка и дефекта можно судить

Еще один гранично-элементный подход к исследованию трещин в трехмерных телах основывается на методе краевых функций [69, 70]. При этом подходе в качестве пробных функций перемещений используются асимптотические решения уравнений Навье, для удовлетворения граничных условий в среднем используется метод граничных взвешенных невязок. В случае эллиптической трещины асимптотические решения, полученные за счет использования гармонического потенциала Сегедина [71], складываются с другими асимптотическими решениями с целью формирования заданного решения. Этот метод ограничен случаем, когда форму трещины можно представить математическими средствами, и не нашел широкого применения.

Ниже описан метод суперпозиции, который оказался не только одним из наиболее точных, но и одним из наиболее дешевых при описании поверхностных дефектов, форма которых может быть представлена математическими средствами. Этот мощный метод суперпозиции основывается на методе альтернирования Шварца — Неймана. Простота и экономичность метода позволяют оценить границы изменения коэффициента /С для дефекта произвольной формы, если исследовать две или более математические формы, между которыми заключена действительная форма реального дефекта.

ного процессора почти на порядок меньше, чем в случае гибридных элементов, описанных выше). Однако, как уже подчеркивалось выше, метод альтернирования ограничен трещинами, форма которых может быть представлена математическими средствами. Ниже приводятся подробности этого метода.

Исследование динамического взаимодействия конструкции с жидкостью сводится обычно к исследованию уравнений движения жидкости и деформируемого тела с соответствующими граничными и начальными условиями. Как отмечается в литературе [24]э общем случае решение таюой системы связано, со значительными математическими трудностями и с практической точки зрения вряд ли целесообразно. Поэтому обширные классы задач, в частности, изучение колебаний конструкций, взаимодействующих с жидкостью,часто сводят к исследованию прочности и надежности конструкции, не рассматривая влияние конструкции на характеристики потока и пренебрегая обратной связью - влияние динамики потока на колебания конструкции. Значение последнего могло бы быть полезным в технической диагностике сосудов, трубопроводов, систем технического водоснабжения.

Решение задач механики деформируемого тела для областей с разрезами (трещинами) связано с известными математическими трудностями вследствие наличия особых (сингулярных) точек. Большинство этих задач эффективно может быть решено только с применением ЭВМ. Среди вычислительных методов в задачах механики разрушения в настоящее время наиболее широкое распространение получил метод конечных элементов (МТ<0). Произошло это вследствие универсальности метода, хороню разработанной теории и наличия значительного количества вычислительных программ, реализующих МКЭ. Немаловажным обстоятельством является то, что коночный элемент представляет собой объект хорошо понятный инженеру, что особенно полезно при моделировании таких явлений, как развитие трещины.

того колеса связан со значительными математическими трудностями и может быть реализован методами теории упругости. В связи с этим на этапе проектирования выполняют приближенный расчет напряжений и деформаций в зубьях колес в два приема: 1) находят усилия в зацеплении — главный вектор действующих контактных давлений; 2) определяют напряжения в наиболее опасных точках колеса под действием этих сил и оценивают прочность колеса.

Несмотря на то, что последний вариант теории является наиболее точным, его реализация связана с большими математическими трудностями, особенно для многослойных пластин. Поэтому далее основное внимание уделено первым двум вариантам, которые являются относительно простыми.

Расчет слоистых пластин на основе уравнений трехмерной теории упругости связан с большими математическими трудностями, и число, работ, выполненных в этом направлении, сравнительно невелико. Среди,ранних работ такого рода следует отметить статью Шайла [126], который рассмотрел статическое на-гружение круглой пластины из двух изотропных слоев. Он использовал метод двух функций напряжений и предполагал, что распределение модуля упругости и коэффициента Пуассона по толщине описывается произвольными (в том числе и разрывными) функциями нормальной координаты. Впоследствии Шайл [127] предложил другой метод решения этой задачи, основанный на

Каждый из компонентов неоднородного материала может обладать различными механическими свойствами: упругими, вязкоупругими, пластическими и пр. Ясно, что описание таких неоднородных материалов связано с большими математическими трудностями. В настоящем томе освещены только некоторые основные аспекты этой сложной проблемы.

Поскольку точное решение этой задачи в общей постановке даже в линейном приближении ((i = const) связано с математическими трудностями, в работе дается приближенный расчет с приемлемым для практики допущением.

В работах {7—11] были предприняты попытки количественного описания нестационарного внутреннего трения. Поскольку точное количественное описание временной зависимости внутреннего трения связано с большими математическими трудностями (или вовсе невозможно), то авторами указанных работ были получены соответствующие аналитические выражения при некоторых допущениях, ограничениях и математических приближениях. Однако, даже несмотря на это, многие из аналитических выражений временной зависимости внутреннего трения все же имеют сложный вид ;[6—10], что затрудняет сопоставление их с экспериментом.

истинных кинетических кривых молекулярных процессов связано с определенными математическими трудностями.

Таким образом, решение краевой задачи для упруго-пластического тела связано, как правило, с большими математическими трудностями. С другой стороны, если ограничиться случаем идеальной пластичности, то наибольший практический интерес часто представляет не картина распространения в теле области текучести, а то состояние, при котором пластическая деформация перестает сдерживаться упругой областью и в теле возникает пластическое течение. Это состояние называется предельным. Так как предельное состояние характеризуется развитой пластической деформацией, то упругими деформациями можно пренебречь и перейти к схеме жестко-пластического тела (см. § 10.2). При этом, поскольку речь идет о начальном моменте развития пластического течения, допустимо считать деформации малыми и пренебрегать изменениями конфигурации тела и положений его точек.

Из сказанного выше следует, что в общем случае получится система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Методы численного решения и анализа таких уравнений в общих чертах известны [91], однако в настоящее время в связи с большими математическими трудностями эти уравнения почти не применяются для решения конкретных задач, хотя отдельные такие работы уже появились [163].