Математической формулировке

Полученное уравнение является математическим выражением первого закона термодинамики. Каждый из трех членов этого соотношения может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Рассмотрим некоторые частные случаи.

Соотношение (3.9) является математическим выражением принципа эквивалентности тепловой и механической энергии.

Перенапряжение водорода на катоде связано с прохождением тока через электрод и зависит от плотности тока. Тафель показал, что эта зависимость при плотностях катодного тока iK > > 10~2 а/м2 может быть представлена следующим математическим выражением:

Система равенств (9.25) является математическим выражением обсбщенного закона Гука. Полагая в равенствах (9.25) равным нулю одно из главных напряжений, получим закон Гука для плоского напряженного состояния.

этого стока теплоты в точности совпадают со свойствами источника теплоты от сварочной дуги, а распределение температур описывается одинаковым математическим выражением.

Эта зависимость является математическим выражением з а-кона Гука— основного закона сопротивления материалов. Закон Гука может быть сформулирован так: нормальное напряжение прямо пропорционально возникающей в том же направлении продольной деформации.

Эта зависимость является математическим выражением закона Г у к а — основного закона сопротивления материалов. Закон Гука может быть сформулирован так: нормальное напряжение прямо пропорционально возникающей в том же направлении продольной деформации.

Полученная формула является математическим выражением теоремы о моменте равнодействующей.

Это равенство, являющееся математическим выражением принципа, который носит имя французского ученого Даламбера (1717 — 1783), можно рассматривать как уравнение равновесия материальной точки. Следует подчеркнуть, что полученное равенство, хотя и названо уравнением равновесия, в действительности является видоизмененным уравнением движения материальной точки.

Это равенство является математическим выражением закона сохранения механической энергии, который формулируется так: при движении материальной точки под действием сдной лишь силы тяжести сумма потенциальной и кинетической энергий есть величина постоянная.

Уравнение (2.1) является математическим выражением закона теплопроводности Фурье, а значение А, характеризует интенсивность процесса теплопроводности и численно равно плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Количество теплоты Q,, теряемое произвольным объемом V внутри тела, можно определить путем интегрирования плотности теплового потока ^ по замкнутой поверхности А, ограничивающей этот объем так, что

Следует особо отметить, что в математической формулировке задачи (5.1) ...(5. 16) используется только величина X теплопроводности пористого материала, но не Хт теплоносителя. Поэтому и в определяющие параметры Bi, Ре, у2 (а также, как будет показано ниже, и в критерий Nu) входит величина X теплопроводности проницаемого каркаса. Параметр Ре = G5c/\ является модифицированным критерием Пекле и представляет собой отношение количества теплоты, переносимой вдоль канала теплоносителем и теплопроводностью через пористую матрицу. Безразмерные параметры Ре и 7 —hv82/\ постоянны вследствие постоянства по сечению канала расхода охладителя G.

Очевидно, внесение в этом случае под знак функции величин LI( Lz, ..., Ln является необходимым. Во всех случаях список безразмерных величин должен соответствовать математической формулировке задачи. Произвольное же исключение или введение под знак функции новых переменных безусловно недопустимо. Любая подобного рода операция должна быть обоснована.

Очевидно, при неизменной математической формулировке задачи новые безразмерные величины могут быть получены соответствующим комбинированием старых безразмерных величин, однако при этом число переменных под знаком функции не должно измениться.

Рассмотрим пример использования метода размерностей. Определим безразмерные переменнее, соответствующие математической формулировке задачи, приведенной в § 5-1. Из этой задачи следует, что

Прежде чем переходить к строгой математической формулировке задачи, заметим, что коэффициент диффузии, вообще говоря," зависит от концентрации D=D(c). Это означает, что уравне-

Рассмотренные в предыдущем параграфе постановки задач о технико-экономической и массогабаритной оптимизации параметров теплообменных аппаратов сводятся к следующей математической формулировке.

Уравнения (2-1) и (2-2) приводят к математической формулировке закона Кирхгофа:

Задачу оптимизации соотношения толщин fy и fy двухслойной термоизоляции можно поставить в данном случае двояким образом. Во-первых, при заданном значении т (массы или стоимости термоизоляции) оптимальное соотношение h\ и h2 можно подобрать из условия максимума термического сопротивления 1?. Во-вторых, при заданном значении R оптимальным следует считать соотношение hi и Нр которое обеспечивает минимум величины т (массы термоизоляции или ее стоимости). Оба варианта оптимизационной задачи соответствуют математической формулировке задачи на условный экстремум функции двух переменных с заданным ограничением в форме равенства. В первом случае нужно найти максимум функции R(h\, h$ при ограничении m(h\, fy) = mg, а во втором - минимум функции т (hi, fy) при ограничении R(hi, h^ = J^, где тдИ RQ - заданные значения.

При достаточно интенсивном теплообмене на внешней поверхности термоизолятора (Bi2 *» 10) условие Т(1, т) = Т2 целесообразно использовать и в более общем случае, когда полные теплоемкости слоев металла и термоизолятора сравнимы между собой. Тогда термическое сопротивление теплоотдачи 1/ос2 оказывается, по крайней мере, на порядок меньше термического сопротивления слоя термоизоляции и им можно пренебречь. В математической формулировке задачи нестационарной кондукции граничное условие Ш рода на внешней поверхности термоизолятора заменяется граничным условием I рода (см. § 2.3). В формулах (4.88) - (4.90) это соответствует переходу к Bi2 -» °°. Расчет температуры слоя металла ведется, как и прежде, по формуле (4.90), но коэффициенты ряда теперь равны

Очевидно, при математической формулировке краевой задачи число зависимых переменных должно быть равно числу уравнений.

Согласно математической формулировке, представленной в виде уравнений (2-3-1) — (2-3-11), температурное поле в пленке зависит от следующих величин: