Математической формулировкой

Из физической и математической формулировки задачи вытекает требование, чтобы это раскрытие было больше или равно нулю. Однако у концов трещины знак раскрытия из (23.25) изменяется бесконечное число раз. Это значит, что верхний и нижний края трещины изгибаются и заходят друг за друга, что физически невозможно.

Если Re^>l, то 6<С/, т. е. у поверхности тела образуется сравнительно тонкий слой подторможенной жидкости, для которого в первом приближении справедливы сделанные нами упрощения. Таким образом, теория пограничного слоя приобретает характер метода упрощения математической формулировки краевой задачи и связанной с этим возможности решения.

5-2. ПРИВЕДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМУЛИРОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ К ЗАПИСИ В БЕЗРАЗМЕРНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Из математической формулировки задачи следует перечень существенных для рассматриваемого процесса физических величин. Если перечень установлен, то выявление чисел подобия может быть произведено методом анализа размерностей.

Уравнения (11-16), (11-17) и (4-19) часто вместе с уравнением состояния p — pRT используются для математической формулировки задачи. Если считать граничные условия идентичными условиям, использованным в § 5-2, то можно получить следующие уравнения подобия:

5-2. Приведение математической формулировки краевой задачи к записи

Из этого свойства решения системы дифференциальных уравнений можно сделать вывод, что для решения какой-либо задачи с помощью анализа размерностей строгой математической формулировки этой задачи не нужно. Достаточно только утверждения, что система уравнений удовлетворяет принципу размерностей однородности.

в механическую энергию и наоборот. Механические процессы происходят независимо от тепловых. Отсюда следует, что значение плотности жидкости несущественно для всех тепловых величин, а значение механического эквивалента тепла вообще несущественно ввиду отсутствия перехода тепловой энергии в механическую. Далее, если принять, что плотность р и величина А не влияют на изучаемый процесс передачи тепла, то из теории размерностей следует, что величина постоянной Больцмана k также несущественна, так как размерность постоянной k содержит символ единицы массы, от которой независимы размерности q и определяющих величин. Несущественность величин р, А и k для указанных предположений легко также усмотреть из математической формулировки задачи об определении количества тепла, передаваемого телом жидкости. Эти обстоятельства оправдывают отсутствие р, А и k среди определяющих параметров, указанных Релеем. Однако если сохранить допущение о несущественности плотности р и не делать предположения, что А и k несущественны, что является результатом дополнительных соображений, то к таблице определяющих параметров Релея необходимо присоединить величины k и Л, а это дает следующую систему определяющих параметров: /, w, Т, с, К, A, k.

Для математической формулировки задачи определения вынужденных колебаний стержня можно с успехом применить способ, основанный на дифференциальных уравнениях Лагранжа второго рода. Представим себе, например, вынужденные колебания балки, вызванные совокупностью сосредоточенных сил Р{, меняющихся по времени и расположенных известным образом на ее длине. Предположим далее, что прогиб балки можно в произвольный момент представить уравнением

Такой двоякий подход к описанию скорости физико-химического превращения обусловлен различием в существе математической формулировки задачи. Если тепловой эффект AQ* непосредственно связан со скоростью изменения массы исходного твердого вещества

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференциальные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или другой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитывать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий.

Совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени называется температурным полем. Уравнение (а) является математической формулировкой такого поля. При этом, если температура меняется во времени, поле называется неустановившимся (нестационарным), а если не меняется— установившимся (стационарным). Температура может быть функцией одной, двух и трех координат. Соответственно этому и температурное поле называется одно-, двух- и трехмерным. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля

Условие (2-11) является математической формулировкой геометрического подобия. Оно справедливо для любых сходственных отрезков подобных фигур, например высот, медиан и др. Если к тому же подобные фигуры ориентированы одинаково, то вследствие

Уравнение (5-7) является наиболее полной математической формулировкой закона Ламберта. Однако в этом уравнении пока неизвестно значение Еп. Для его определения необходимо уравнение проинтегрировать по поверхности полусферы, лежащей над плоскостью dFi, и полученное выражение сопоставить с (5-3).

Уравнение (7-2) является математической формулировкой граничного условия третьего рода. Из рис. 7-2, в имеем:

Условие (2-11) является математической формулировкой геометрического подобия. Оно справедливо для любых сходственных отрезков подобных фигур, например высот, медиан и др. Если к тому же подобные фигуры ориентированы одинаково, то вследствие равенства соответственных углов их сходственные стороны параллельны. Зная условия подобия, можно решить целый ряд практических задач. На основании свойств подобия треугольников, например, можно определить высоту дерева или ширину реки, не производя самих измерений высоты и ширины.

Уравнение (5-7) является наиболее полной математической формулировкой закона Ламберта. Однако в этом уравнении пока неизвестно значение Еп. Для его определения необходимо уравнение проинтегрировать по поверхности полусферы, лежащей над плоскостью dFi, и полученное выражение сопоставить с уравнением (5-3).

Уравнение (7-2) является математической формулировкой граничного условия третьего рода. Из рис. 7-2, в имеем:

Полученный результат является математической формулировкой первой теоремы Кастильяно: частная производная от потенциальной энергии деформации по любой внешней силе равна перемещению точки приложения силы в направлении ее действия. Теорема распространяется также и на случай нагружения моментом и позволяет найти угол поворота, т. е. можно получить

Это соотношение часто называют математической формулировкой второго закона термодинамики '. Для пояснения понятия «энтропия» рассмотрим необратимый адиабатический процесс, показанный штриховой полосой на рис. 3.10. Этот процесс не показан сплошной линией, поскольку параметры состояния не могут быть однозначно определены в необратимом процессе. Выполним следующую последовательность обратимых процессов, начиная сточки /:

Использование декомпозиции и эквивалентирования не только обеспечивает возможность решения задач большой размерности и уменьшает время решения, но часто позволяет свести решение задачи к другой (другим) - либо более простой, либо с известной (в отличие от исходной) математической формулировкой.

Выражение (2-39) и является математической формулировкой закона смещения Вина. Из него следует, что при увеличении температуры равновесной системы максимум спектральной объемной плотности энергии равновесного излучения ?/ох смещается в сторону более коротких длин волн в соответствии с (2-39).