Математическом отношении

Развернутые формулы, определяющие положение схвата ?, ввиду громоздкости не приведены. При решении конкретных задач целесообразно использовать ЭВМ, в математическом обеспечении которых имеются стандартные подпрограммы для выполнения матричных операций.

В математическом обеспечении ЕС ЭВМ имеется пакет прикладных программ, предназначенных для решения систем линейных алгебраических уравнений [15]. Подпрограммы написаны на ФОРТРАНе и могут быть использованы не только на ЕС ЭВМ, но и на других типах ЭВМ. Эти подпрограммы реализуют прямые методы как для матриц общего вида, так и для матриц специального вида (симметричных, ленточных). Ниже рассмотрим несколько широко применяемых подпрограмм, которые далее будут использованы при решении задач теплопроводности, лучистого и конвективного теплообмена.

Наконец, перейдем к вопросу решения системы уравнений. Для решения систем уравнений МКЭ применяют как прямые, так и итерационные методы. Причем последние обычно используют в тех случаях, когда объем оперативной памяти не позволяет хранить всю глобальную матрицу даже с учетом ленточного симметричного вида. Из прямых методов хорошо зарекомендовал себя на практике и получил широкое распространение метод квадратного корня. Этот метод пригоден только для систем линейных уравнений с симметричной матрицей и по затратам машинного времени примерно вдвое быстрей метода исключения Гаусса. В математическом обеспечении ЭВМ имеются стандартные программы, реализующие метод квадратного корня. Предусмотрен и случай систем с ленточной матрицей (стандартная подпрограмма МСНВ из математического обеспечения ЕС ЭВМ [15]). В заключение подчеркнем, что использование той или иной стандартной подпрограммы решения системы уравнений требует определенного способа записи глобальной матрицы в одномерный массив. Применяемые способы различны для разных подпрограмм, т. е. может организовываться запись по

Развернутые формулы, определяющие положение схвата Е, ввиду громоздкости не приведены. При решении конкретных задач целесообразно использовать ЭВМ, в математическом обеспечении которых имеются стандартные подпрограммы для выполнения матри.чных операций.

ние банка данных, непрерывное его накопление и обно ление, а также проводить логический анализ запросе поиск и выбор из банка необходимых документе с целью организации (согласно заданным признака] массивов для последующего статистического анализ Наличие в математическом обеспечении системы пр грамм экстраполяции дает возможность решить так! задачи.

квадратичной интерполяции Мюллера. В математическом обеспечении современных ЭВМ имеются стандартные подпрограммы для решения такой задачи [96].

можно определить при помощи стандартных подпрограмм, имеющихся в математическом обеспечении современных ЭВМ. Коэффициенты полинома

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из тепло-проводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12].

элементов связан с серьезными трудностями. В этом случае расчеты можно провести на ЦВМ численными методами, например по формуле (2.6.5) (рис. 2.29). Программирование вычислительных алгоритмов значительно облегчается при наличии в математическом обеспечении ЦВМ стандартных процедур для интегрирования системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, интерполирования и вычисления определенных интегралов. Выбирая соответствующим образом шаг интегрирования и количество узлов интерполяции, с помощью ЦВМ удается удовлетворить практически любым требованиям, предъявляемым к точности инженерных расчетов.

Аппроксимация опытных данных методом наименьших квадратов содержится в математическом обеспечении большинства современных ЭВМ [42, 49].

Например, нужно определить t\ (/) из (2.54) и (2.58), tl из (2.64), использовав аналитическое выражение ехр (—р*т) в математическом обеспечении ЭВМ, а на каждом расчетном шаге определить ^т по имеющимся численным значениям tt.

Эта теория может быть применена для описания рас-щипления атомных плоскостей и для трещин в пластически деформируемом теле. В математическом отношении оба случая эевивалентны.

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно той ли иной оси представляет собой, вообще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейне р а:

Нахождение главных осей тела произвольной формы— в математическом отношении сложная задача. Однако она очень упрощается для тел, обладающих той или

Это означает, что обе противоположные границы пластической .чоиы сходятся плавно при х = а. Из формул (7.8), (7.9) и (7.10) следует также, что условия непрерывности напряжений и плавного смыкания пластической зоны в математическом отношении эквивалентны.

По своей физической сути обе рассмотренные методики мало отличаются одна от другой. Некоторым преимуществом в математическом отношении обладает методика ISO TK4. Анализ приведенных формул показывает, что наиболее эффективным способом повышения срока службы подшипников качения является снижение контактных напряжений.

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методами или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина.

анализе гармонических волн можно представить периодическими функциями, и задача сводится к отысканию решения для одного элемента. В математическом отношении она приводится к «теории Флоке», разработанной для дифференциальных уравнений. Аналогом этой задачи в физике твердого тела является проблема распространения электронных волн при периодических потенциалах. Решение уравнения Шредингера, описывающего эту задачу, получено вариационными методами в работе Кона [86], а распространение этих методов на слоистые композиционные материалы представлено в работе Кона и др. [87]. By [197] использовал построенный в этих работах вариационный метод для анализа распространения поперечных волн в волокнистых композиционных материалах. Аналогичные задачи рассмотрели Вилер и Мура [189], Тобон [178].

Вопросы коррозии блуждающими токами в справочнике излагаются по материалам самых ранних публикаций с использованием крайне упрощенных моделей. В СССР уже в 1960-е гг. распределение токов и потенциалов в системе реле — земля — подземные сооружения было рассмотрено в самой общей постановке вопроса: определялось распределение потенциалов в проводящем полупространстве, в котором расположены хорошо проводящие тела. В математическом отношении задача при этом сводится к нахождению решения уравнения Лапласа, которое должно удовлетворять на поверхности проводящих тел граничным условиям, связывающим значения тангенциальной производной потенциала с током утечки данного проводника. Такая задача легко сводится к системе двухмерных интегрально-дифференциальных уравнений. Для одиночных круговых цилиндров бесконечной протяженности решения получены в аналитическом виде, для более сложных случаев решения найдены в численном виде с применением ЭВМ.

Чаще других встречаются смешанные граничные условия. Вместе с тем в математическом отношении этим граничным условиям удовлетворить труднее, чем статическим или кинематическим. Ниже будет пояснена причина этой сложности. Реже всего встречаются кинематические граничные условия; эти условия удовлетворяются просто.

Наряду с теоремой, указанной в названии параграфа, имеется еще и теорема о существовании решения задачи теории упругости. Доказательство этой последней теоремы является далеко не простым в математическом отношении. Вместе с тем, если исходить из физических соображений, то факт существования решения задачи теории упругости является достаточно очевидным. Все уравнения теории упругости, приведенные выше, получены из принципов механики, не вызывающих сомнения, вследствие чего они, эти уравнения, не могут быть в' противоречии с природой — сплошное тело (сохраняющее свою сплошность) определенным образом нагруженное и надлежащим способом закрепленное, должно иметь хотя бы одно положение равновесия. Поскольку теорема о существовании решения задачи теории упругости (в том числе и нелинейной), представляя большую математическую сложность, с точки зрения механики не вызывает сомнения в смысле ее справедливости, на доказательстве этой теоремы мы не останавливаемся и будем исходить из предположения о существовании решения отмеченной выше задачи. Что касается теоремы о единственности решения линейной задачи теории упругости, то ее ниже докажем.

Корнями этого уравнения являются значения параметра нагрузки Р, при которых имеется нетривиальное решение для обобщенных координат, характеризующих форму равновесия системы, отклоненную от первоначального положения равновесия. Таким образом, задача отыскания Pi (i = 1.....k) в математическом отношении — это задача об отыскании собственных чисел матрицы коэффициентов линеаризованной системы уравнений равновесия в положении, отклоненном от первоначальной формы. Наименьший корень характеристического уравнения, со-