Неопределенными множителями

Рассмотрим решение прямой задачи оптимизации распределения на-дежностей элементов [26]. Для этого воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим вспомогательную функцию

Общее число уравнений (8.1) и (8.3) равно s -{- т, т. е. больше числа степеней свободы на величину 2т. Однако число неизвестных, входящих в эти уравнения, также равно s -f- m (s обобщенных координат и т неопределенных множителей), и полученная система уравнений при небольшом числе уравнений связей т решается без особых затруднений, так как дополнительные неизвестные (неопределенные множители) входят в уравнения линейно.

Применение метода неопределенных множителей Эйлера — Лагранжа приводит к следующей записи общего уравнения динамики:

Система уравнений Эйлера — Лагранжа состоит из уравнения (21.22), уравнений для неопределенных множителей

(22.30) получим уравнения для неопределенных множителей

транспонированная матрица Якоби системы функции f согласно (2.59) по обобщенным координатам; Л, Q — вектор-функции неопределенных множителей и обобщенных сил.

Подставляя выражение вектор-функции неопределенных множителей Л через независимые вектор-функции Е и V в первые два уравнения системы (2.68), разрешим их относительно вектор-функции Е и ее второй производной Ё

Выразим вектор-функцию неопределенных множителей А через независимые вектор -функции Е, V* и координату zt

Решение задачи связано с нахождением условного экстремума. Для нахождения безусловного экстремума задачу необходимо преобразовать так, чтобы она стала задачей на безусловный минимум. Одним из способов преобразования задачи является метод неопределенных множителей Лагранжа.

Решение задачи связано с нахождением условного экстремума. Для нахождения безусловного экстремума задачу необходимо преобразовать так, чтобы она стала задачей на безусловный минимум. Это преобразование может осуществляться различными способами, выбор которых зависит от сложности и трудоемкости вычислений. Одним из эффективных способов является метод неопределенных множителей Лагранжа. Практические приемы преобразования и методы оптимизации решений достаточно подробно освещены в работах [21, 66].

Условный экстремум (4) с учетом (3) находится методом неопределенных множителей Лагранжа из уравнений

f29. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями .... 153 30. Уравнения Аппеля..................157

§ 29. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями _, ^*

Для составления уравнений движения механизма с неголо-номными связями нельзя использовать обычные уравнения Лагранжа второго рода, а следует применять их обобщение, известное под названием уравнений Лагранжа с неопределенными множителями:

Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями применимы и при нелинейных неголономных связях первого по-рядка, уравнения которых обычно представляются в неявном виде

При нелинейных связях коэффициенты A\it ..., Ami в уравнениях (8.3) должны быть заменены на d^aldqt. Заметим так-же, что уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, как и все другие уравнения динамики неголономных систем, справедливы и для голономных систем.

Уравнения Аппеля. Применение уравнений Лагранжа с неопределенными множителями при составлении уравнений движения механизма с неголономными связями приводит к необходимости совместного решения системы уравнений, число которых превышает число степеней свободы на удвоенное число неголономных связей. Поэтому для изучения динамики механических систем с неголономными связями неоднократно предлагались дифференциальные уравнения, применение которых позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений. Из этих уравнений рассмотрим лишь уравнения Аппеля*).

т. е. опять приходим к уравнению (8.8), которое было получено с применением уравнений Лагранжа с неопределенными множителями.

Последнее уравнение аналитически выражает тот факт, что скорость точки О всегда направлена вдоль связи 1—2 (перпендикулярно к оси колеса). Уравнения Лагранжа первого рода с неопределенными множителями AI и Хг имеют вид

Уравнения движения МА, работающего в режиме редуцирования и в фазе вынужденного движения, получены на основе представления ИВ в виде двухмассовой динамической модели (рис. 1) и применения уравнения Лагранжа II рода с неопределенными множителями [3, 4]; при этом приняты следующие координаты:

В ряде случаев для упрощения составления уравнений движения вводится число обобщенных координат, превышающее количество степеней свободы системы. Полученные при этом уравнения Лаг-ранжа с лишними координатами и неопределенными множителями hi, ..., А* (их иногда называют уравнениями Феррерса [85]):

Воспользовавшись дифференциальными уравнениями Лагран-жа с неопределенными множителями, запишем уравнения движения системы в следующем виде: