Непрерывной зависимости

Перейдем теперь к одному из важнейших понятий теории вероятности - понятию случайной величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно [9]. Случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно пронумеровать, называется дискретной (прерывной). Если возможные значения случайной величины непрерывно заполняют какой-то промежуток, то она называется непрерывной случайной величиной.

М[Х] = тх — J xf(x)dx — для непрерывной случайной 0 величины.

Сравнивая формулы (6.17) и (6.20), видим, что интеграл (6.17) можно трактовать как математическое ожидание непрерывной случайной величины Л, связанной с X зависимостью

-- распределения дискретной случайной величины 1 (1-я) — 281, 295 — распределения непрерывной случайной величины 1 (1-я) — 281

Основными количественными характеристиками непрерывной случайной величины X является область значений величины Сот хтт до хтя*) и плотность вероятности tp (x) внутри этой области. Плотность вероятности -f (x) есть предел отношения вероятности того, что величина А имеет значения в интервале (x, x -\- Дх) к длине Ддг интервала, когда hx стремится к нулю:

Плотность вероятности ср (х) называется также диференциальным законом распределения (или просто законом распределения) непрерывной случайной величины X, диференциальной функцией распределения (или просто функцией распределения) величины А'.

N — число всех наблюдений. При наблюдении или измерении на практике непрерывной случайной величины полученный статистический материал обрабатывается путём группировки всех полученных значений по нескольким интервалам, на которые разбивается вся область полученных значений. Числа значений величины, приходя-

Медианой непрерывной случайной величины (х = Ме) называется значение, удовлетворяющее условию: вероятность значений х, меньших Me, равна вероятности значений х, больших Me, т. е.

Вероятным отклонением г непрерывной случайной величины х называется отклонение от медианы Me, удовлетворяющее условию: вероятность отклонений, меньших его по абсолютной величине, равна вероятности отклонений, больших его по абсолютной величине, т. е.

Данный размер детали вследствие износа является непрерывной случайной щ^шащей времени, которая мозе? ггапотошш уменьшаться (диаметр наружного кольца подшипника сколъже'ния, толщина ков-аа гкокаватора и т.п.) кдк увелшиватъся (диаметр внутреннего кольца подиппшша скольяенил).

Для непрерывной случайной величины х область полученных на практике ее значений разделяется на несколько промежутков одинаковой ширины Дл;, и число значений величины х в каждом промежутке называется частотой. Таблица частот называется статистическим распределением.

С другой стороны, «выпуская» движение из точки a* = (q*, q*) в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени /, для которого dE* (t)/dt<. О (здесь E*(t) — значение энергии в движении Р*). Поэтому E*(f)<.Eocl. Следовательно, значения энергии в движениях Ps и в движении Р* в момент времени i отличаются на конечную величину Е^ — Е* (f), несмотря на то, что начальные точки (qs, qs) и (q*, q*) этих движений сколь угодно близки, а это противоречит теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение ?'00>0 ошибочно. Теорема доказана.

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая: в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиндр.

Предположим, как и прежде, что для системы уравнений (4,2) выполняются теоремы единственности решения и его непрерывной зависимости от начальных условий по крайней мере в сторону возрастания времени, а фазовое пространство представляет собою плоскость.

Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени t = О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть s и 5 — координаты точки М и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость

Описанный способ получения точечных отображений применим для любых кусочно-линейных динамических систем второго порядка и в более общем случае, когда фазовая плоскость разбивается на три, четыре и большее число областей. Однако практические трудности в решении задачи при этом возрастают из-за громоздкости получаемых выражений. Лишь с созданием быстродействующих электронно-вычислительных машин появились новые возможности для преодоления математических трудностей при решении не только этих, но и более сложных и громоздких задач. Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта,

Предположим, что при наложении связи qv = 0 (закреплении сосредоточенной массы с индексом v) исходная динамическая модель (рис. 92, а) распадается на две изолированные модели с опорными соединениями (рис. 92,6, в). Такую сосредоточенную массу назовем расщепляющей. Если v — расщепляющая масса, то с учетом непрерывной зависимости собственных значений динамической модели от изменения ее упруго-инерционных параметров всегда можно выбрать такие значения этих параметров, чтобы выполнялось равенство щ1 = щ^+i- Тогда в соответствии с теоремами Рэлея о влиянии связей на спектр собственных частот динамической системы АЧХ Д,„(<о) я-мерной модели можно представить следующим образом:

Однако практически определить экстремум целевой функии C(R) аналитическими методами не представляется возможным вследствие отсутствия непрерывной зависимости {5 (./?). Повысить надежность можно с помощью конкретных мероприятий. Эти мероприятия могут повышать надежность на одинаковую величину

Нельзя не отметить недостатка формул (4.4) — (4.6), неизбежно вытекающего лз метода описания по своей физической сущности непрерывной зависимости a=f(P) с плавным сопряжением экстремумов двумя различными зависимостями. Расчетные кривые при «пограничном» давлении расходятся и дают существенную разницу в значениях а, Теплообменное оборудование энергетических установок работает при постоянных и переменных нагрузках и давлениях, причем характер изменения во времени нагрузок может быть различным. Поэтому наличие рекомендаций только по развитому кипению не всегда может удовлетворить требованиям конкретного проектирования систем и аппаратов. Положение осложняется тем, что при давлениях до 50 бар а постепенно увеличивается (Р, q = const) во времени, а при 50 бар высокие а при развитом кипении сохраняются некоторое время лишь при быстром подъме давления, а затем обычно наступает переход к неразвитому кипению с низкими а. К сожалению, количественных зависимостей а от т еще не имеется. В какой-то мере могут помочь данные по минимальным значениям теплоотдачи, представленные в [4.1]. Их можно представить в виде функции •a=Aqn, ккал/м2-час-°С (значения Ann приведены ниже):

стационарного поля температуры в области V по значению температуры и ее нормальной производной на части границы S представляет собой задачу Коши для уравнения Лапласа. Решение этой задачи существует и единственно, но в ней при рассмотрении естественных функциональных пространств решений и исходных данных (например, Си L2) нарушено третье условие корректности по Адамару — нет непрерывной зависимости решения от данных Коши. Необходимо отметить, что при рассмотрении нестационарного процесса теплопроводности при исходных данных, заданных на части границы области, задача также неустойчива.

Недостатком этой формулы является то, что она справедлива для ограниченного диапазона 90°^ср^30° и не дает непрерывной зависимости теплоотдачи во всем диапазоне 90°^ф^=0. Кроме того, характерные скорости и размеры, входящие в формулы для Nu при продольном и поперечном обтекании пучка, разные, что неудобно для расчетов (табл. 4.9).

при переходе от непрерывной зависимости сечений или