Невозмущенном состоянии

новившиеся незатухающие колебания, то проверяемое положение равновесия системы устойчиво; если колебания оказываются затухающими или если колебания вовсе не возникают и система возвращается в исходное положение, то последнее является асимптотически устойчивым. Равновесие системы неустойчиво, если хотя бы одно какое-то достаточно малое возмущение вызывает движение, уводящее систему от невозмущенного состояния.

Вариационная формулировка условий устойчивости упругого тела может быть получена двумя различными способами (см. § 5). Первый способ основан на определении условий, при которых в окрестности начального невозмущенного состояния равновесия может существовать новое возмущенное состояние равновесия, т. е. на определении вариационным методом точек бифуркации начального состояния равновесия. Второй способ связан с непосредственным исследованием устойчивости начального состояния равновесия с помощью теоремы Лагранжа.

где C&H!, at*!, aayx — дополнительные перемещения, которые получают точки тела при переходе из начального невозмущенного состояния равновесия в новое возмущенное состояние равновесия. При этом функции иг = MX (x, у, z), v± = v1 (х, у, г), шх == = W-L (х, у, г) будем считать конечными, а коэффициент а бесконечно малой величиной, не зависящей от координат.

Поскольку в соответствии с принятым допущением (см. § 7) изменением размеров тела в докритическом состоянии равновесия пренебрегаем, вместо последних зависимостей получаем выражения^. 26). Таким образом, при исследовании устойчивости начального невозмущенного состояния принимаем такую модель: до потери устойчивости тело напряжено, но не деформировано. Закон Гука считаем справедливым для состояний, смежных с начальным. Поэтому внутреннюю потенциальную энергию в новом возмущенном состоянии равновесия можно вычислить по формуле (2.7), подставив значения деформаций из (2.24). С точностью до слагаемых, имеющих множитель а2, получим

Начальные напряжения ajj, Оу, ... должны быть предварительно определены из решения линейной задачи для начального невозмущенного состояния равновесия тела. Удлинения s'x, к'у, ... и е,'х, Еу, ... подсчитываем по формулам (2.26) и (2.27).

Для записи энергетического критерия устойчивости в форме Брайана предварительно требуется определить начальные напряжения в упругом теле. При решении некоторых задач устойчивости иногда оказывается удобным записать энергетический критерий в другой форме, не содержащей непосредственно начальных напряжений невозмущенного состояния равновесия [61. Покажем, как это можно сделать.

компоненты напряжений второго порядка малости, возникающих при переходе тела из начального невозмущенного состояния равновесия в новое возмущенное состояние, описываемое перемещениями (2.48). Тогда величины v?p"x, azp"y, azpz, введенные

Если закрепления краев оболочки исключают возможность чисто изгибной деформации, то при потере устойчивости поведение тонких оболочек становится качественно иным. В этом случае критическая точка бифуркации Вг идеально правильной оболочки оказывается точкой бифуркации второго типа [3, 19]. Точка бифуркации соответствует неустойчивому начальному состоянию равновесия и в окрестности критической точки бифуркации нет новых устойчивых состояний равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия удалены от начального невозмущенного состояния на конечные расстояния (рис. 6.23, б). Поэтому переход в новое возмущенное состояние равновесия происходит хлопком: переходя в новое устойчивое состояние оболочка «перескакивает» через статически неустойчивые состояния равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия, отделенные от начального невозмущенного состояния сравнительно небольшим энергетическим барьером, становятся возможными до достижения критической нагрузки.

Величину и А. А. Гухман [10] назвал характеристической скоростью, так как _ для данной физической среды она зависит только от 'характера изменения состояния среды в процессе перехода ее из невозмущенного состояния в возмущенное. Отсюда видно, что только при ds = Q характеристическая скорость приобретает физический смысл скорости звука.

В самом деле, как при построении функции П, так и при построении функции еп сравнивается форма жидкости в какой-либо момент ее возмущенного движения с формой, сохраняемой ею в невозмущенном движении, без рассмотрения движения невозмущенного состояния [37, с. 15]. В нашем случае под формой жидкости следует понимать глубину потока. Такое определение формы и ее изменения отвечает принятым в [37].

Общие уравнения динамической устойчивости упругих систем. Пусть соотношение между частотами возбуждения и наименьшей собственной частотой в невозмущенном движении таково, что при нахождении невозмущенного напряженно-деформированного состояния допустимо использовать квазистатическое приближение и пренебречь перемещениями в этом состоянии. Тогда уравнения динамической устойчивости каждой конкретной упругой системы могут быть получены из уравнений нейтрального равновесия для задачи статической устойчивости добавлением далам-беровых сил инерции и заменой усилий (напряжений) невозмущенного состояния соответствующими функциями времени. Если необходимо учитывать диссипацию, то в уравнения добавляют также диссипативные силы.

В невозмущенном состоянии стержня продольная сила N(z), положительная в случае сжатия, и внешние силы — распределенные по длине р и сосредоточенные на торцах Рь и Ре — связаны соотношениями

Рассмотрим первый способ. Перемещения точек тела в начальном невозмущенном состоянии равновесия будем считать известными и обозначим «о. УО> и>о- Тогда перемещения, соответствующие новому возмущенному состоянию равновесия, равны

где «о = и0 (х, у, z); v0 = v0 (x, у, z); w0 = w0 (х, у, г) — перемещения точек тела в начальном невозмущенном состоянии равновесия; «! = «! (х, у, z); Vi = У! (х, у, z); Wi = шх (х, у, г); ы2 = ыа (х, у, z); vz = i>2 (х, у, z); wz = w2 (x, у, z) — конечные функции координат.

В начальном невозмущенном состоянии равновесия в срединной плоскости пластины действуют усилия Тх=Тх(х, у), Ти = = Т°у(х, у), S°=-S°(x, у), которые будем считать известными. Отклонение пластины от начального состояния равновесия зададим перемещениями точек ее срединной плоскости:

где с - скорость фронта волны относительно воды в невозмущенном состоянии, то из (4.43) следует известная формула критической скорости:

указанную механическую систему как систему консервативную, несмотря на то, что при конечных ^х1 этого сделать нельзя. Консервативность рассматриваемой системы совершенно не зависит от того, будет или нет движение жидкости в невозмущенном состоянии консервативным или диссипативным, так как рассматривается не движение жидкости в невозмущенном состоянии, а только изменение формы движения или, иначе, изменения, которые происходят с изменением координаты xt , и диссипация, происходящая только при изменении *i . Так, в квазитвердом потоке невозмущенное движение жидкости консервативно, а изменение формы его движения на конечную величину A.XI сопровождается дисси-пативными потерями, изменение же ее на бесконечно малую величину dxl не сопровождается диссипативными потерями. Потенциальное невозмущенное движение диссипативно, так как тангенциальные напряжения в нем не равны нулю. Однако бесконечно малое изменение формы движения при условии (5 .9) для потенциального течения также не сопровождается диссипативными потерями.

Колебания с малой амплитудой являются акустическими колебаниями. Возмущения плотности, давления, скорости в акустических волнах малы по сравнению с соответствующими параметрами в невозмущенном состоянии. Граница акустических колебаний определяется акустическим числом Маха, которое выражается отношением амплитуды колебания скорости А« к местной

В координатах Лагранжа зависимые переменные относятся к точке, где расположен элемент жидкости, который в невозмущенном состоянии находится в другом месте. Пусть, например, х0 есть равновесное положение элемента жидкости (рис. 5), ах — его мгновенное [положение, так что смещение этого элемента из положения равновесия будет равно разности ? = х — х0. При таком подходе координата х становится функцией х0 и t:

Здесь ? — отклонение безразмерного параметра от его значения в невозмущенном состоянии среды; е — некоторое малое число, определяющее порядок малости основных безразмерных газодинамических величин. Метод анализа структуры слабых волн в рамках уравнения БКДВ был глубоко обоснован и широко развит как в теоретических, так и экспериментальных работах В.Е. Накорякова и др.

Рассмотрим получение вариационно-матричным способом канонической системы дифференциальных уравнений для решения задач устойчивости и колебаний. При получении разрешающих уравнений будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние определяется решением- задачи статики в линейной постановке. При составлении уравнений движения в окрестности исходного состояния будем учитывать начальное напряженное состояние. В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по величине, ни по направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки и условия связи, будем считать консервативной. Исследование движения системы относительно начального состояния проведем без учета демпфирующих свойств.

Рассмотрим вариационную формулировку задач устойчивости и колебаний трехслойных оболочек, деформирование которых описывается с использованием гипотезы «ломаной линии». Будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но недеформирована. Для консервативной системы с использованием принципа Даламбера запишем условие существования смежного равновесного состояния (3.40):