Независимых компонент

В равенстве (4.31) содержится радикал 2-й степени, вследствие чего операции вычисления независимых коэффициентов р0, рг, ..., а следовательно, и искомых параметров механизмов затруднительны. Разность А„ целесообразно привести к рациональному виду, хотя бы путем приближенного представления ее величины. Это возможно сделать если принять параметрический вес

В работах [125 и 214] путем использования волн обоих типов (расширения и сдвиговой) получен весь комплекс упругих коэффициентов волокнистого композита в образцах с различной ориентацией волокон. Этот эксперимент описан в табл. 6. Уравнения, необходимые для расчета пяти независимых коэффициентов жесткости по пяти измерениям скорости могут быть получены из общих выражений, описывающих распространение волн в транс-версально анизотропной среде [93, 125]:

Отсюда следует, что мы проигрываем в общности, так как число независимых коэффициентов уменьшается от 21 до 6. Эта потеря общности в наименьшей степени затрагивает случай орто-тропии прочностных свойств, если оси координат совпадают с главными осями прочности. Так как здесь все пределы прочности на сдвиг совпадают, условия (56) автоматически выполняются, и, следовательно, остается всего 9 независимых констант. При использовании «инвариантной» записи (57а) необходимо добавить три недостающие константы РЦ, F22 и F33; это можно сделать, скажем, добавив член с квадратом первого инварианта. Например, в критерии Мизеса для изотропного материала будет фигурировать величина

В этом уравнении, как и в уравнении (5), содержится 36 независимых коэффициентов (6 в линейных слагаемых и 21 в квадратичных). Следовательно, усложнение алгебраической структуры критерия не приводит к большей общности; в то же время смешение коэффициентов при линейных и квадратичных слагаемых в уравнении (74) вызывает путаницу при установлении связи тензоров поверхности прочности с техническими пределами прочности, что можно видеть из выражений для коэффициентов уравнения (74), которые для плоского напряженного состояния

Увеличение числа независимых коэффициентов до четырех, вместо трех в уравнении типа (3.1), связано с появлением дополнительного источника информации — характеристики вида напряженного состояния.

Величина кажущейся энергии активации процесса роста Q = = 36,5 ккал/моль. Непосредственно ее нельзя сопоставить ни с одной из энергий активации процессов диффузии тех элементов, которые принимают участие в реакции взаимодействия. Такое сопоставление можно провести в двухкомпонентных системах, как, например, Ti — В.? Как "известно, в трехкомпонентных системах потоки диффундирующих атомов зависят от четырех независимых коэффициентов диффузии. Однако если диффузия одного из элементов контролирует скорость роста реакционной зоны, то энергия активации диффузии должна быть близка к энергии активации скорости роста зоны. Известно, что энергия активации процесса диффузии углерода в титане Q^l — 20 -ь48 ккал/моль, а кремния

Среди коэффициентов упругости EL, ET, VLT, VTL независимыми являются три. Если добавить к этим коэффициентам еще GLT, общее количество независимых коэффициентов станет равным четырем. При помощи этих коэффициентов можно выразить зависимость напряжения — деформации. В некоторой произвольной точке для коэффициентов упругости можно записать

В симметричных системах тел имеет место равенство между отдельными угловыми коэффициентами. Это обстоятельство не отражено в формуле (8-65). Поэтому для таких систем фактическое число независимых коэффициентов будет меньше расчетного числа z, что следует иметь в виду при пользовании формулой (8-65). Так, например, для .куба (« = 6, р = 6, r=0, d=0) согласно формуле (8-65) имеем:

но фактическое число независимых коэффициентов вследствие симметрии равно единице [Л. 97].

Во многих приложениях независимые размерные параметры механизма определяются из условий минимизации отклонений от нуля полинома, число независимых коэффициентов (свободных параметров) которого равно числу независимых размерных параметров. Может случиться, как, например, в автоматических токарных станках [4], что необходимые условия, такие, как размерные ограничения, передаточные характеристики и подобные, могут привести к размерам звеньев, отличающихся от полученных, исходя из требований минимизации структурных ошибок. В таком случае можно рассматривать полином с п коэффициентами, из которых п — m независимых коэффициентов могут быть использованы для минимизации структурных отклонений, тогда как оставшиеся коэффициенты (т) могут быть использованы для оптимизации по другим условиям. В частности, мы можемопределить полином Pnm (t) с первым коэффициентом, равным единице, определенном на интервале (а, р), в котором только (га + 1 — т) последовательных максимальных отклонений, начинающихся с t = а, численно равны. Эти полиномы превращаются в классические чебышевские полиномы в случае т = 0 и, следовательно, могут быть рассмотрены как "обобщение этих полиномов.

Анизотропия самого общего вида у реальных материалов, когда матрица коэффициентов податливости IS) содержит 21 независимый коэффициент, — явление редкое. Обычно структура материала такова, что его упругие свойства в некоторых направлениях идентичны. В этих случаях число независимых коэффидиентов в матрице коэффициентов податливости (и, следовательно, в матрице коэффициентов жесткости) уменьшается, и при надлежащем выборе системы координат упрощается запись закона Гука. •"- Плоскость упругой симметрии. Если в анизотропном теле его упругие свойства идентичны в любых двух направлениях, симмет-ричных'относительно некоторой плоскости, то такая плоскость называется плоскостью упругой симметрии. В "этом случае число независимых коэффициентов, описывающих свойства материала, сокращается до тринадцати [29], а закон Гука принимает более простой вид при совмещении одной из координатных плоскостей с плоскостью упругой симметрии. Например, совместив с плоскостью

Следовательно, из девяти компонент напряжения только шесть независимы. Они полностью определяют напряженное состояние в точке, т. е. зная шесть независимых компонент, можно определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку.

Выражения для остальных компонент матрицы податливости двух совместно работающих слоев (симметризованного элемента), определяемые через компоненты матрицы податливости отдельного слоя, имеют более громоздкий вид. Расчет показывает, что из тринадцати компонент матрицы жесткости симметризованного элемента четыре тождественно равны нулю. Девять независимых компонент определяют ортотропию упругих свойств симметризованного элемента, для которого оси 1 , 2, 3 являются главными осями упругой симметрии. Шесть компонент матрицы жесткости симметризованного элемента в системе 1, 2, 3 совпадают

Следовательно, из девяти компонент напряжения только шесть независимы. Они полностью определяют напряженное состояние в точке, ~. с. зная шесть независимых компонент, можно определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку.

где т — фактор ориентировки Тейлора. Таким образом, нахождение условия начала течения в поликристаллическом материале фактически сводится к поиску способа усреднения ориентировок отдельных кристаллитов для получения т. Простое усреднение всех возможных ориентировок, которое фактически предполагает, ЧТОБ каждом зерне действует одна система скольжения с максимальным значением приведенного касательного напряжения, дает для ГЦК-металлов т = 2,238 [4]. Аналогичный ход расчета в работе [23] с некоторыми допущениями об упрочнении за счет границ приводит к т — 2,2. Эти представления о независимой деформации каждого зерна противоречили самой сущности поликристалла, сохранению его сплошности во время деформации, что было явным ограничением теории и никак не согласовалось с данными эксперимента. Мизес впервые еще в 1928 г. показал 14], что для осуществления требуемого изменения формы тела необходимо иметь пять независимых компонент деформации (объем принимается постоянным). Для кристаллического тела это означает необходимость действия пяти различных систем скольжения. В принципе могут действовать и более пяти систем, но энергетически оптимальные условия течения достигаются при пяти действующих системах. Это значит, что в металле с ГЦК-решеткой, имеющей 12 кристаллографически эквивалентных октаэдрических систем скольжения, должны будут работать только пять с наиболее высокими для данной ориентировки приведенными касательными напряжениями.

Яркой иллюстрацией упомянутых здесь преимуществ метода математического моделирования является хорошо известная в. настоящее время линейная теория механического поведения анизотропных композитов. Например, для двумерного ортотроп-ного композита математическая модель (обобщенный закон Гу-ка) характеризует податливость тензором четвертого ранга, откуда следует, что измерение всего четырех независимых компонент (5ц, Sjz, S22, See) тензора податливости, соответствующих главным направлениям структуры материала, позволяет полностью определить шесть коэффициентов податливости (Sj,, S{2>. S'l6, S'22, Sj6, Sg6) для произвольных направлений. Таким образом, отпадает необходимость многочисленных измерений шести коэффициентов податливости с небольшим шагом изменения ориентации образца для установления закона преобразования этих коэффициентов. Отсюда следует также, что сравнение податливости различных композитов можно производить путем: сравнения главных податливостей, не прибегая к сравнению графиков или таблиц значений отдельных компонент 5ц в зависимости от ориентации осей координат (так и практикуется в настоящее время). Кроме этого, метод математического моделирования дал возможность исследовать поведение слоистых пластин (Рейсснер и Ставски [41]), заняться вопросами оптимизации (Уэддупс [50], Брандмайер [6]), сформулировать принципы рационального статистического анализа, максимально сократить, число экспериментов, облегчить выпуск необходимой документации и технические приложения (By с соавторами [57]). Все эти преимущества метода математического моделирования должны быть использованы в проблеме исследования разрушения анизотропных композитов, но при этом нужно отчетливо понимать следующее:

Таким образом, если условие разрушения не зависит от гидростатического давления, то, как вытекает из уравнений (39), число независимых компонент тензора поверхности прочности Р^ уменьшается с 21 до 15. Для композитов, ортотропных в отношении прочностных свойств, в силу этих уравнений из девяти независимых компонент Р{} остается шесть:

В общем случае Ац, Вц и ?>;/— симметричные матрицы с ненулевыми компонентами, каждая содержит шесть независимых компонент в соответствии с (4.17). Если структура композита симметрична, то Вц = О и отсутствует взаимное влияние, т. е. связь между мембранными характеристиками (деформациями, например) и характеристиками изгиба — кручения. Величины А, В и D преобразуются аналогично Q; Ац, А22, AIZ, Л66, DU, ?>22, ?>12 и D66 положительно определены; <4i6 = А26 = Die = ?>2б = 0 для композитов, состоящих только из слоев, ориентированных взаимно перпендикулярно. Для схем армирования типа [±9°]s, состоящих из большого числа слоев, величины D]6, D2e, AIS и Ау.§ могут быть существенно малыми по сравнению с другими компонентами жесткостей. Уравнение (4.16) можно преобразовать так, что деформации в плоскости, не связанные с изгибом и кручением (мембранные), и компоненты кривизны и кручения будут выражены через приложенные нагрузки и свойства материала.

внимание симметрию тензора (Н^ (s, х) = Н^ (S( х~) ; в общем случае он будет иметь восемнадцать компонент. Но на свободной от нагрузки поверхности имеется лишь три отличных от нуля компоненты тензора напряжений (в локальной системе координат) , в связи с чем тензор HI, (s, x) будет иметь девять независимых компонент. Компоненты тензора Щ^ (s, x) в силу однородности материала исследуемого объема являются непрерывными гладкими функциями (точки соприкосновения поверхностей L и S исключаем). Для кусочно-однородного материала в отличие от тензора перемещений Ц^ (s, x) компоненты тензора Н^ (s, x) будут разрывными функциями.

Выражения для остальных компонент матрицы податливости двух совместно работающих слоев (симметризованного элемента), определяемые через компоненты матрицы податливости отдельного слоя, имеют более громоздкий вид. Расчет показывает, что из тринадцати компонент матрицы жесткости симметризованного элемента четыре тождественно равны нулю. Девять независимых компонент определяют ортотропию упругих свойств симметризованного элемента, для которого оси 1 , 2, 3 являются главными осями упругой симметрии. Шесть компонент матрицы жесткости симметризованного элемента в системе 1, 2, 3 совпадают

Данные векторы — девятимерные, но следуя работе [27 ], используют также и пятимерные векторы (так как девиаторы напряжений и пластических деформаций имеют по пять независимых компонент). Величины Rs и Re представляют собой инварианты девиаторов: Rs = Т/Л"', Re = v№. В процессе пластического деформирования оба вектора описывают в пространствах компонент девиатора напряжений и девиатора деформаций некоторые кривые, которые называются путями нагружения и деформирования. При пропорциональном нагружении, когда соотношения между компонентами девиатора напряжений сохраняют постоянство, эти кривые превращаются в лучи, выходящие из начала координат. Феноменологические закономерности пластического деформирования должны содержать зависимость между любым путем нагружения и соответствующим путем деформирования.

ползучести бетона [78] и необратимой ползучести полимеров [59, 63], сходны по форме с рассмотренными уравнениями вязко-упругости. Расчет необратимой вязкопластической деформации, прекращающейся в момент начала снижения интенсивности напряжений, может быть выполнен при знакопостоянном нагруже-нии путем преобразования режима действия приведенного напряжения dtj (0), как видно из рис. 2.12, на котором вверху показан действительный график изменения ati (0), а внизу график преобразовательного режима, по которому определяются вязкопла-стические деформации е/вп) в момент т. Этот график получается путем сдвижения каждой ступеньки высотой dau по горизонтали к указанному моменту т, причем полученные ординаты монотонно нарастают с течением времени 0. В общем случае нестационарного нагружения необходимо получить пять таких графиков, по числу независимых компонент s,;- девиатора напряжений.