Нормальные компоненты

Системы со многими степенями свободы. Связанные системы. Нормальные колебания связанных систем Задачи 311

Нормальные колебания связанных систем. Несмотря на сложность движения двух связанных маятников, оно всегда может быть представлено как суперпозиция четырех гармонических

Какая особенность системы со многими степенями свободы делает ее связанной? Что такое нормальные колебания связанной системы? Сколько их имеет связанная система?

Таким образом, задача исследования связанных систем сводится к нахождению их нормальных колебаний и нормальных частот. Иногда простые соображения позволяют указать нормальные колебания, как это было в только что рассмотренном случае. Две из нормальных частот являются просто частотой собственных колебаний маятника (с учетом или без учета массы пружины и высоты ее подвеса), а две другие — частотами колебаний маятников при наличии дополнительной силы упругости со стороны пружины при симметричных отклонениях маятников от положения равновесия в противоположных направлениях.

§ 144. Колебания систем с двумя степенями свободы (628). § 145, Колебания связанных систем (631). § 146. Неодинаковые парциальные системы. Резонанс в связанных системах (638). § 147. Колебания замкнутых систем (643Ь § 148, Колебания в сплошных телах (650). § 149. Нормальные колебания упругого стержня (658). § 150. Нормальные колебания струны (67)). § 151» Поляризация поперечных колебаний (672). § 152. Параметрическое возбуждение колебаний (674).

Так же как в системе, состоящей из отдельных масс, выбором соответствующих начальных условий в стержне можно возбудить то или иное из свойственных ему нормальных колебаний. При произвольном выборе начальных условий в стержне сразу возбуждаются в той или иной степени все нормальные колебания, которыми обладает эта система. Всякое колебание стержня, возникающее в результате начального толчка, представляет собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний. В системе, состоящей из отдельных масс, возникновение тех или иных нормальных колебаний определяется характером начальных отклонений всех масс. Точно так же в струне возникают различные нормальные колебания в зависимости от характера начального отклонения струны. Оттягивая струну в различных точках, мы будем возбуждать в ней, вообще говоря, различные нормальные колебания. Поэтому и характер звука, издаваемого струной, будет, вообще говоря, различным.

Первое нормальное колебание, соответствующее наиболее низкой частоте и двум узловым точкам (на концах струны), является основным тоном собственных колебаний струны. Все остальные нормальные колебания, соответствующие более высоким частотам, являются обертонами собственных колебаний струны.

§ 149. Нормальные колебания упругого стержня

Возникновение нормальных колебаний в результате начального отклонения системы было рассмотрено в § 148 на примере струны. При этом были высказаны качественные соображения о характере нормальных колебаний в сплошных телах. Сейчас мы обратимся к рассмотрению колебаний в упругом стержне. В результате этого анализа во многих случаях можно будет получить не только качественные, но для простейших колебательных систем и количественные данные о нормальных колебаниях в сплошной системе. Эта возможность связана с тем, что всякие собственные колебания, возникающие в сплошной системе (как и в связанных системах с конечным числом степеней свободы), представляют собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний, свойственных данной системе. Поэтому гармониками спектра тех собственных колебаний, которые могут возникнуть в какой-либо сплошной системе, должны являться нормальные колебания, свойственные данной системе. Изучить спектры собственных колебаний какой-либо достаточно простой колебательной системы можно элементарными методами; зная же эти спектры, можно опре-

$ 1491 НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 659

« 149] НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 661

сварного шва, называют продольными и обозначают вх. Напряжения, действующие в плоскости соединяемых элементов перпендикулярно оси шва, называют поперечными и обозначают ау. Напряжения, действующие в направлении, перпендикулярном плоскости соединяемых элементов, называют напряжениями по толщине сварного соединения и обозначают <тг. Наряду с нормальными компонентами в сварных соединениях могут действовать соответствующие касательные напряжения т*,,, iyz, ггх. Деформации, возникающие при сварке, обозначаются аналогично напряжениям. Различают нормальные компоненты сварочных деформаций е*, ъу, кг и сдвиговые уху, yyz, угх. Сварочные деформации в общем случае определяют изменение линейных и угловых размеров тела и характеризуют состояние отдельных участков тела. Основные причины, вызывающие появление деформации при сварке, заключаются в неравномерном нагреве, структурных превращениях и упругопластическом деформировании. Поэтому необходимо различать следующие составляющие сварочных деформаций:

В жидкостях и газах, где не существует упругости формы, тангенциальные компоненты тензора напряжения отсутствуют, а нормальные компоненты равны друг другу и давлению с обратным знаком. Давление имеет знак минус, потому что напряжение считают положительным, когда оно растягивающее, а давление считают положительным, когда оно сжимающее.

то нормальные компоненты реакции, направленные по ВС и DF, не дадут момента и из уравнения можно будет определить реакцию Rp. Значения Rf. и RB могут быть найдены аналогично. Если взять иные особые точки, то в уравнении моментов нормальные компоненты реакции внешних кинематических пар у двух поводков всегда исключаются; остается третий, который и определяется из соответствующего уравнения. Так, из уравнения 2 Мн2, \2< 3, 4, 5] = 0 находится RL, а из уравнения 2 ^я31 [•?> 3, 4, 5]=0 находится RЪ•

Уравнение моментов можно взять относительно любых точек группы. Однако в этом случае нормальные компоненты реакций не исключаются в уравнениях попарно и приходится решать три уравнения совместно, так как в каждое из них могут входить все три искомые неизвестные.

Так как скорости уже найдены, то можно предварительно вычислить все нормальные компоненты ускорений. Полагая со, const и, следовательно, а, - 0, в равенстве, связывающем ~аА и а/,, будем иметь только два неизвестных: а2 и а3 или, что то же самое, два

ъх> &у> &г — нормальные компоненты тензора деформации; ет — предел текучести по деформациям; Я — положительная скалярная функция; v — коэффициент Пуассона; 5 — интенсивность напряжения; сгь ст2> сг3 — главные значения тензора напряжений;

а(1 — компоненты тензора напряжений; ®х, ау, az — нормальные компоненты тензора напряжений; GX, <*у> ®г — средние значения внешних нагрузок; Aax, Да,,, Дбг — приращения внешних нагрузок;

11. Коэффициент Лоде. Если на некоторое напряженное состояние наложить дополнительно всестороннее равномерное растяжение (сжатие), то размеры всех кругов напряжений не изменяются, но вся фигура смещается вдоль оси <т вправо (влево). Для девиатора напряжения диаграмма Мора характеризуется определенным относительным расположением центров окружности и начала координат системы сгт, которая, поскольку в девиаторе нормальные компоненты напряжений обозначаются символом s, переходит в систему sr (рис. 5.31, а); сумма расстояний от центров большого и среднего кругов до начала координат равна по абсолютному значению расстоянию от центра малого круга до начала координат.

На границе разнородных участков свободный объем — пористое тело физически оправданы следующие условия. Нормальные компоненты фильтрационных скоростей связаны условием сплошности vn\r=eun\r. Касательные компоненты скорости в зоне непосредственно за решеткой равны нулю ыт=0, поскольку можно принять, что «толстая» (l>d) решетка формирует систему нормальных струй. Перепад давления на границе между областями и и и может быть принят в виде гидравлических потерь на решетке:

Рассмотренные в [46] задачи показывают, что на границах разнородных пористых тел сохраняются нормальные компоненты фильтрационных скоростей и полное давление (с учетом местных потерь), а касательные компоненты фильтрационных скоростей изменяются. Это необходимо учитывать как при «сшивании-» решений на границах, так и при построении «сквозных» расчетных методик.

В жидкостях и газах, где не существует упругости формы, тангенциальные компоненты тензора напряжения отсутствуют, а нормальные компоненты равны друг другу и давлению с обратным знаком. Давление имеет знак "-", потому что напряжение считают положительным, когда оно растягивающее, а давление отно-