Нормальных координатах

Во всех же более сложных случаях, когда коэффициенты при yt и г/2 в лилейных комбинациях, выражающих нормальные координаты, могут быть отличны от 1, для того чтобы найти выражения нормальных координат, нужно предварительно определить значения этих коэффициентов. А для этого нужно решить уравнения, описывающие колебания в двух связанных системах. Таким образом, применение нормальных координат не облегчает решения задачи о колебаниях в связанных системах (поскольку для нахождения нормальных координат предварительно необходимо эту задачу решить); но после того, как эта задача решена, с помощью нормальных координат исходную систему можно формально представить в виде двух систем с одной степенью свободы каждая, не связанных между собой, и к колебаниям в этих системах применять результаты теории колебаний систем с одной степенью свободы.

где V — вектор нормальных координат консервативного аналога невозмущенной модели (9.76), Н — модальная матрица системы (9.76), ортоиормированная относительно /.

где Ht, V4 — модальная матрица и вектор нормальных координат модели г-й подсистемы. Тогда уравнениям (13.1) можно придать вид

где V = (Vi, V2, VS)T — g-мериый вектор обобщенных координат рассматриваемой модели, V,, V2, V3 — векторы нормальных координат локальных моделей подсистем Д, ПМ, РМ соответственно размерностей п, г, т, D\ ^Cj1', c% , ..., Сп+г, 0, ..., 0 )

где V, Я — вектор нормальных координат и ортонормированная относительно ядра 6 модальная матрица дискретной подсистемы (НТ&Н = Л, j/s, Xk — нормальные координаты и ортонормирован-ные относительно ядра ФСя) собственные функции непрерывной подсистемы, причем г

где ЯЖТЯЖ =/, ЯфвЯф =/, Яж, Яж, Уж —: левая и правая биор-тогональные модальные матрицы и вектор канонических координат системы (13.32), Яф, Уф — модальная матрица и вектор нормальных координат консервативного ядра системы (13.33).

где V — га-мерный вектор нормальных координат базовой модели,

матрица, i — re-мерны вектор нормальных координат +г сегмента.

Используя каноническое преобразование координат q = /70V, где Но, V — нормированная модальная матрица и вектор-функция нормальных координат, представим уравнение (19.16) в виде

В данной книге рассматривается решение указанных задач с помощью главных или нормальных координат.

Укажем два простейших частных случая, когда такое приведение возможно. Пусть диссипативная матрица В с точностью до числового множителя пропорциональна матрице инерционных коэффициентов, т. е. В = 2еА, где е — некоторая постоянная. Тогда нормальные координаты диссипативной системы совпадают с нормальными координатами соответствующей консервативной системы, а коэффициенты демпфирования для всех нормальных координат равны в: = е2 = ,,, = ел = е.

В нормальных координатах системы (9,23) модель (9.22) приобретает следующий вид:

динамических моделей. Анализ особенностей определения собственных спектров составных динамических моделей цепных систем начнем с рассмотрения односвязной составной системы «двигатель — рабочая машина» (см. рис. 74), движение которой в нормальных координатах описывается векторно-матричньш дифференциальным уравнением (13.7). Как показано в § 13, полуопределенный базис модели (13.7), удовлетворяющий услови-

Рассмотрим эквивалентную динамическую Tqo- модель составного машинного агрегата, компонуемого по схеме «двигатель — рабочая машина» (см. рис. 74). Эта модель описывает поведение машинного агрегата в нормальных координатах составляющих подсистем (см. гл. III). Известно, что двигатель и машина, удовлетворяющие порознь всем техническим требованиям, часто образуют в результате их соединения неработоспособный или неудовлетворительный по долговечности силовой цепи машинный агрегат [21, 28, 62]. Наиболее активные динамические процессы, существенно влияющие на эксплуатационные характеристики машинного агрегата, развиваются, как правило, в резонансных скоростных зонах, определяемых спектром регулярных возмущающих сил и собственным спектром машинного агрегата. Источниками регулярных возмущений являются двигатель, рабочая машина или оба этих агрегата одновременно, причем обычно нельзя существенно повлиять на характеристики возмущающих сил.

Построение решений в нормальных координатах. Введем в рассмотрение нормальные координаты:

В окончательном виде уравнения в нормальных координатах запишем следующим образом:

Очевидно, каждое нормальное колебание имеет форму /-го собственного колебания (частоты ш0/-), а уравнения, описывающие рассматриваемую систему в нормальных координатах, записываются гораздо проще. Для консервативной системы они определяются подстановкой (3) в (2) и умножением на V (транспонированную модальную матрицу) слева:

Преимущества перехода к нормальным координатам консервативной системы * очевидны: можно анализировать колебания по каждому собственному тону независимо, а исследование колебаний сводится к простому и наглядному рассмотрению одностепенных систем. О комплексных нормальных координатах неконсервативной системы см. работу [16].

координатах [уравнение (1)] F — вектор сил, в нормальных координатах [уравнение (6)] он преобразуется в вектор обобщенных сил F' = VF, /-я компонента которого пропорциональна работе сил возбуждения на перемещениях по форме /-го соб-

В нормальных координатах квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий приводятся к сумме квадратов:

Анализ движения объекта удобно производить в главных или нормальных координатах [12], вектор v которых в случае малых колебаний связан с вектором исходных обобщенных координат соотношением

9^+0)^6^=0 (k=\,2,...,n). (6.1.29) Таким образом, совокупность дифференциальных уравнений колебаний механической системы с п степенями свободы в нормальных координатах распадается на п не связанных между собой уравнений, каждое из которых описывает одно из главных колебаний.

являются диагональными. Следовательно, выражения кинетической и потенциальной энергией в нормальных координатах не содержат произведений различных обобщенных скоростей и координат.