Нормальными напряжениями

Координаты 8; (/ = 1, ..., п) также представляют собой обобщенные координаты системы. Обобщенные координаты Blt ..., 0„, в которых кинетическая и потенциальная энергии имеют вид (46) и (47), называются главными (или нормальными) координатами системы. В силу указанной выше теоремы линейной алгебры для

Если координаты qt и q2 будут нормальными координатами, то уравнения движения запишутся в более простой форме

К этому специальному случаю мы пришли, так выбрав координаты исходной системы, что колебания парциальных систем (определяемых поочередным приравниванием нулю этих координат) оказались тождественными нормальным колебаниям системы. Так выбранные координаты называются нормальными, координатами. Введя эти нормальные координаты, мы определяем парциальные системы и находим парциальные, а значит, и нормальные частоты (поскольку те и другие совпадают между собой). Применяя нормальные координаты, мы4 как будто избавляемся от необ-' ходимости рассматривать колебания в двух связанных системах с одной степенью свободы каждая, так как парциальные системы — это системы с одной степенью свободы каждая, не связанные между собой. Однако в действительности это не так.

сб = cjk — cjhi C[j, qk •— обобщенные координаты сосредоточенных масс расчетной модели, связанных соединением (/, АО. Учитывая зависимость между обобщенными координатами qh qh и нормальными координатами базовой модели, получим уравнение связи

Координаты 7/, в которых кинетическая энергия системы выражается в виде суммы квадратов обобщенных скоростей, а потенциальная энергия — в виде канонической квадратичной формы обобщенных координат, Называются нормальными координатами. Матрица v преобразования (5.29) является частным случаем модальной матрицы М-, а нормальные координаты — частным видом главных координат.

Переменные T]I и Ла можно квалифицировать как некоторые «квазинормальные» координаты, которые при аг = const и «2 = const совпадают с нормальными координатами, используемыми в теории линейных, колебаний систем с постоянными параметрами.

ловых скоростей поворота <рх, фу, срг- Если предположить, что «о- 'lo. C0. ?дт- <РУ, 9г представляют собой обобщенные координаты движения Лагранжа, то ?0, TJO, C0 оказываются главными, или нормальными координатами, так как соответствующее им выражение содержит только квадраты скоростей. В противоположность этому
чины называются главными, Или нормальными, координатами, а колебания, им отвечающие,— главными (нормальными) колебаниями.

Для упрощения примем, что центр жесткости и центр демпфирования системы совпадают с центром массы; главные оси жесткости и демпфирования совпадают с главными центральными осями инерции, две из которых расположены вертикально и горизонтально в плоскости чертежа. Тогда заданные вертикальная и малая угловая компоненты вибрации будут несвязанными и, следовательно, вертикальное перемещение центра массы и угол поворота исполнительного органа будут нормальными координатами системы (см. т. 1).

* Иногда эти координаты ошибочно называют нормальными координатами для дисси-пативных систем (или координатами, при переходе к которым система (6) распадается на независимые уравнения), в то время как нормальные координаты неконсервативных систем являются комплексными.

Обобщенные координаты системы, которые описывают несвязанные свободные колебания, называют нормальными (главными) координатами. Нормальными координатами широко пользуются как при качественном описании колебательных процессов, так и в прикладных вибрационных расчетах. Формула (38), связывающая произвольно выбранные и нормальные обобщенные координаты, в развернутом виде записывается так:

Установим зависимость между изгибающим моментом, действующим в сечении, и возникающими при этом нормальными напряжениями, а также определим закон распределения нормальных напряжений по сеченной.

Для определения радиуса кривизны нейтрального слоя используем зависимость между изгибающим моментом и нормальными напряжениями:

угольного параллелепипеда (рис. 2.104, г). Тогда увидим, что напряженное состояние в точке А характеризуется нормальными напряжениями 0, действующими по площадкам элемента, совпадающими с поперечными сечениями бруса, и касательными напряжениями т, действующими по этим же и перпендикулярным им площадкам (закон парности).

Для определения радиуса кривизны нейтрального слоя используем зависимость между изгибающим моментом и нормальными напряжениями:

к площадкам, называются нормальными напряжениями: ах, ау, аг, а составляющие, лежащие в плоскостях граней, — касательными напряжениями: гху, %хг, tyx, т,,,, тгА-, тгу — (рис. 2.125). Эти состав-

При этом вводятся упрощающие расчет условия и допущения, вытекающие из гипотезы тонкостенности оболочки. В частности, полагают, что прямолинейные и перпендикулярные элементы оболочки к ее срединной поверхности до начала нагружения остаются такими же и в процессе ее деформирования. Нормальными напряжениями а3, действующими перпендикулярно срединной поверхности оболочки, пренебрегают в виду их малости по сравнению с компонентами напряженного состояния в стенке О] и О2.

Бернулли. На основании сказанного можно заключить, что все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно (см. рис. 57). Эти напряжения параллельны продольной силе, т. е. перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их величину найдем, разделив модуль продольной силы N на площадь F

Даже при осевом нагружении стержня таких факторов можно указать несколько. Можно полагать, что опасное состояние возникает при достижении нормальными напряжениями предела текучести или предела прочности, С другой стороны, можно полагать, что опасное состояние возникает, когда наибольшее относительное удлинение достигает определенного значения. Возможно и третье предположение — появление опасного состояния связано с тем, что касательные напряжения достигают определенного значения, Возникновение опасного состояния можно связать также с достижением определенного значения величины энергии, накапливаемой в материале при деформации.

Геометрические соотношения. При определении деформативных характеристик трехмерноармированных композиционных материалов примем в первом приближении вариант элементарного описания модели, изображенной на рис. 5.2. Единичный куб, представляющий модель материала, составлен из различных по упругим свойствам прямоугольных параллелепипедов, относительные размеры которых связаны с геометрией размещения волокон. Реальная структура материала представляется чередующимися пересекающимися тонкими слоями, армированными волокнами. В материале эти слои выделяются, как показано на рис. 5.1, а, б. При нагружении материала нормальными напряжениями вдоль каждой из осей армирования распределение напряжений в плоскости отдельного слоя является кусочно-однородным по сечениям армирующих волокон и смежным им прослойкам связующего. Пересечение слоев в трехмерноармированном материале происходит в трех взаимно ортогональных направлениях. Вследствие этого распределение нормальных напряжений по сечению материала, ортогональному одному из направлений армирования, является кусочно-непрерывным по отдельным малым площадкам сечения трехмерноарми-рованного материала. Число малых площадок, приходящихся на единицу площади сечения трехмерноармиро-ванного материала, равно утроенному числу всех волокон, заключенных в единице объема материала. Суммарная нагрузка, воспринимаемая во-

При этом вводятся упрощающие расчет условия и допущения, вытекающие из гипотезы тонкостенности оболочки. В частности, полагают, что прямолинейные и перпендикулярные элементы оболочки к ее срединной поверхности до начала нагружения остаются такими же и в процессе ее деформирования. Нормальными напряжениями <3$, действующими перпендикулярно срединной поверхности оболочки, пренебрегают в виду их малости по сравнению с компонентами напряженного состояния в стенке GJ и а2.

Установим связь между нормальными напряжениями и линейными деформациями в направлениях этих напряжений, справедливые для любого напряженного состояния. Рассмотрим бесконечно малый элемент, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, на гранях которого возникают напряжения растяжения ст„ ст,, crz.