Нормальное перемещение

Соответствующим выбором начальных условий можно возбудить в обеих связанных системах либо то, либо другое нормальное колебание. В общем же слу-

В первом случае (рис. 424, а) начальные отклонения всех трех масс подобраны так, что результирующие силы, действующие на них со стороны пружин, пропорциональны смещениям этих масс. Можно рассчитать величину отклонений, при которых соблюдается это требование. Если начальные отклонения будут подобраны так, что силы будут пропорциональны начальным смещениям, то и ускорения, и достигнутые скорости все время будут пропорциональны смещениям. Все три массы будут двигаться, сохраняя свое взаимное расположение, и будут совершать одно гармоническое колебание с одной и той же частотой. Это будет первое нормальное колебание системы.

При начальных смещениях, изображенных на рис. 424, б, возникнет второе нормальное колебание (масса т2 при этом колебании все время остается в покое). Наконец, если начальные отклонения, изображенные на рис. 424, в, подобрать так, чтобы результирующие силы были пропорциональны смещениям, то и в этом случае все три массы будут совершать одно и то же гармоническое колебание. Это и будет третье нормальное колебание системы. Такими же рассуждениями, как и для двух масс, можно убедиться, что первому типу начальных смещений соответствует нормальное колебание наименьшей частоты, а третьему — наибольшей.

Первое нормальное колебание, соответствующее наиболее низкой частоте и двум узловым точкам (на концах струны), является основным тоном собственных колебаний струны. Все остальные нормальные колебания, соответствующие более высоким частотам, являются обертонами собственных колебаний струны.

В зависимости от характера начальных отклонений в системе возбуждаются те или иные обертоны колебаний. Так, например, чтобы в системе, состоящей из трех масс, возбудить то нормальное колебание, при котором средняя масса т.2 остается в покое, нужно дать начальное отклонение массам тг и т3. Мы не возбудим этого нормального колебания, если оттянем только массу т.,. Точно так же, оттянув струпу в какой-либо точке, мы не возбудим в ней тех нормальных колебаний, для которых эта точка является узловой.

Картину возникновения различных нормальных колебаний при разных начальных отклонениях можно продемонстрировать на слабо натянутой резиновой трубке. Такая «струна» обладает сравнительно малой упругостью, поэтому амплитуды ее колебаний могут быть велики и хорошо видны. Если оттянуть струну в средней точке (рис. 425), то мы сильнее всего возбудим в ней нормальное колебание наименьшей частоты (основной топ), для которого узловыми являются только крайние точки. Если оттянуть две половины струны симметрично в противоположные стороны, то мы возбудим в пей сильнее всего то нормальное колебание, для которого средняя точка является узловой. При этом колебания струны будут происходить с большей частотой.

Конечно, колебания струны вследствие сопротивления воздуха и внутреннего трения в резине постепенно затухают. При этом не только уменьшается амплитуда колебаний струны, по изменяется и форма колебаний. Это объясняется тем, что, оттягивая струну в одной точке, мы возбуждаем в ней не одно нормальное колебание, а ряд нормальных колебаний (все, для которых эта точка не является узловой). Но частоты этих колебаний различны и затухают эти колебания с разной скоростью — тем быстрее, чем выше частота колебаний. Поэтому и изменяется форма колебаний; к концу в струне остается только одно нормальное колебание, соответствующее наиболее низкой частоте, и колеблющаяся струна принимает форму синусоиды (рис. 425). Отдельные точки струны колеблются с одной и той же частотой, но с разными амплитудами, причем эти амплитуды распределяются по закону синуса.

Распределение амплитуд нормального колебания может оказаться несинусоидальным и в однородных сплошных системах, если упругие силы, действующие между отдельными элементами сплошной системы, не пропорциональны величине относительного смещения соседних элементов, а зависят от деформаций каким-либо более сложным образом. Например, при поперечных колебаниях упругого стержня возникают деформации изгиба. Упругие силы зависят от величины изгиба, который через элементарные деформации сжатия и растяжения выражается некоторым сложным образом. Поэтому распределение амплитуд колебаний изгиба упругого стержня оказывается нссинусоидальным (рис. 428, а). Но и в этом случае каждому нормальному колебанию соответствует определенное расположение узловых точек. Изогнув упругую пластинку так, как указано на рис. 428, б, мы возбудим в ней нормальное колебание, для которого узловыми точками являются точки А и В.

Легко видеть, что гармоничность обертонов системы тесно связана с равномерным распределением узловых точек вдоль системы. Действительно, например, для второго обертона (второго нормального колебания) однородной струны, кроме дпух узловых точек на концах струны, появляется еще узловая точка в середине струны. Эту узловую точку можно закрепить; мы этим не нарушим второго нормального колебания струны, которое при этом превращается в первое нормальное колебание (основной тон) для каждой из двух половин струны. Но основной тон для половины струны должен быть ровно вдвое выше основного тона для всей струны. Поэтому второй обертон для всей струны должен быть ровно вдвое выше ее основного тона, т. е. должен быть гармоническим. Гармоничность обертонов как раз связана с тем, что узловые точки делят однородную колеблющуюся систему на равные части.

Если мы возобновим операцию переноса элементов массы Дт, то частоты этих п/2 колебаний будут беспредельно возрастать, а когда массы нечетных грузов обратятся в нуль, все эти п/2 частот обратятся в бесконечность. Мы видим теперь, куда исчезают п/2 колебаний при переходе дискретной системы с п степенями свободы к системе с п/2 степенями свободы: частоты этих исчезающих колебаний «уходят в бесконечность». Если п — 2Р, где р — целое число, то, переходя таким же образом от системы с п/2 степенями свободы к системе с п/4 степенями свободы, затем к системе с п/8 степенями свободы и т. д., мы дойдем до системы с одной степенью свободы (рис. 451, а).которой свойственно одно нормальное колебание; из п нормальных колебаний, которые были свойственны исходной системе с п степенями свободы, п — 1 исчезли — их частоты обратились в бесконечность.

а — линейная цепочка; б — нормальные колебания цепочки; в —нормальное колебание цепочки, отвечающее самой короткой- волне (наибольшей частоте); г —дисперсионная кривая, выражающая зависимость частоты нормальных колебаний от волнового вектора

где d0 — базовый диаметр отпечатка (с/0 = 1), WQ — максимальное нормальное перемещение при создании отпечатка диаметром dq.

Точка В любого звена АВ (рис. 7.5, а) может иметь два дефектных перемещения: нормальное перемещение 5вл. известное по величине и направлению, равное_ заданной ошибке длины звена, и тангенциальное перемещение S'BA _L В А, известное только по направлению, которое является следствием ошибки Аф в угловом положении звена.

Относительное перемещение SBA представляется состоящим из нормального перемещения S'BA и тангенциального SBA- Нормальное перемещение SBA вызвано погрешностью размера в длине звена

где с/о - базовый диаметр отпечатка (с/0 = D, W, - максимальное нормальное перемещение при создании отпечатка диаметром dQ.

где do — базовый диаметр отпечатка (do = 1), WQ — максимальное нормальное перемещение при создании отпечатка диаметром d0.

w — нормальное перемещение (прогиб); wjr — отношение прогиба оболочки к ее радиусу; у — единичный вектор нагрузки; а — угол поворота оси, связанной с элементом, относительно единой

w — нормальное перемещение; Х$, .XY — нагрузки, действующие в направлении оси х по плоскостям

ult u2 — меридиональное и кольцевое перемещения срединной поверхности оболочки; w — нормальное перемещение; . х, у — осевая и кольцевая координаты на срединной поверхности

В соответствии со второй из формул (6.8) нормальное перемещение для сферической оболочки

Полное нормальное перемещение определяется формулой w —

Для круговой цилиндрической оболочки, вводя безразмерны в координаты $!/R — a, s2A/? = ср, полагая qa — 0 и исключая функцию усилий if, можно получить уравнение, включающее только нормальное перемещение: