Нормального перемещения

действуют симметрично изменяющиеся циклические нормальные и касательные напряжения (циклическое растяжение-сжатие и кручение). Экспериментально найденные для этого случая предельные значения нормального напряжения сгп-р и предельные напряжения сдвига тпр можно выразить эллиптической зависимостью

3. Величина нормального напряжения в любом наклонном сечении (a =j= 0°) меньше Oj и достигнет максимума лишь в поперечных сечениях (а = 0°). Касательное напряжение наибольшее значение имеет в сечении, составляющем угол 45° с направлением at.

Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). Согласно этой теории преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения. Предполагается, что нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступит тогда, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигнет значения, соответствующего предельному состоянию данного материала при простом растяжении или сжатии.

Учитывая указанное обстоятельство, а также формулу (12.10), получаем следующее выражение для определения нормального напряжения в произвольной точке С сечения:

Наличие нормального напряжения о в любой точке поперечного сечения обусловлено возникновением в этом сечении нормальной силы N или изгибающих моментов Мг и Му. Наличие касательных напряжений т или ти и тг обусловлено внутренними силовыми факторами, возникающими в плоскости сечения, т. е. поперечными силами Qv, Qz или крутящим моментом Мк. *

Исключив р из равенств (2. 78) и (2.79), получим формулу для определения нормального напряжения в произвольной точке поперечного сечения

где Я— коэффициент пропорциональности, называемый моду л е м упругости первого рода и характеризующий упругие свойства материала. Из формулы (10.2) вытекает, что модуль упругости—• это отношение нормального напряжения к соответствующему относительному удлинению при одноосном напряженном состоянии в пределах упругой деформации. Уравнение (10.2) называется законом Гука. Модуль упругости является физической константой материала и определяется опытным путем. Величина Е выражается в тех же единицах, что и напряжение о, т. е. в МПа. Для наиболее часто применяемых в машиностроении материалов модуль упругости Е в МПа и коэффициент Пуассона v имеют следующие значения:

Условия поперечного изгиба бруса отличаются тем, что кроме изгибающего момента в сечениях бруса будет поперечная сила Q. Эта сила вносит изменения в закон распределения нормального напряжения, установленный для чистого изгиба. В связи с незначительностью этих изменений считают, что нормальные напряжения при поперечном изгибе будут определяться, как

Определив величину относительного удлинения (укорочения), можно найти и величину соответствующего нормального напряжения, применив закон Гука:

Эта формула служит для определения величины нормального напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки.

Зависимость (б) не дает возможности определить величину нормального напряжения в произвольной точке, так как неизвестны радиус кривизны нейтрального слоя и положение нейтральной оси.

где От — предел текучести материала, ДИ^,! " — изменение величины максимального нормального перемещения на 2-й, 1-й главной оси соответственно,

При радиальных нагрузках (гидростатическое давление и ветровая нагрузка) коэффициенты 6j и Ь„ обращаются в нуль. Ряды для касательного усилия Т и для нормального перемещения ю быстро сходятся (для них достаточно брать 2-4 члена), для продольного и кольцевого нормальных усилий необходимо учитывать 3-5 членов, а для поперечного изгибающего момента - 4-10 членов.

Относительное перемещение SBA представляется состоящим из нормального перемещения S'BA и тангенциального SBA- Нормальное перемещение SBA вызвано погрешностью размера в длине звена

где ат — предел текучести материала, А^ 1 — изменение величины максимального нормального перемещения на 2-й, 1-й главной оси соответственно,

Это означает, что один край оболочки закреплен жестко относительно окружного (и нормального) перемещения и упруго относительно осевого, другой край — полностью свободен. В этом случае несложные выкладки приводят к характеристическому уравнению

При решении задач методом конечных элементов нужно обеспечить необходимую гладкость сопряжения элементов между собой. Разрешающие уравнения МКЭ будут получены с использованием интегральной формулировки принципа возможных перемещений [(см. 3.3)]. Входящие в подынтегральное выражение деформации содержат первые производные по а от касательных перемещений и, v и вторые производные от нормального перемещения ш. Поэтому при переходе от элемента к элементу необходимо обеспечить непрерывность по а как самих функций и, v, w, так и первых производных от w. Таким условиям удовлетворяют аппроксимации следующего вида [51 ]:

где погонные силовые факторы вычисляются согласно (4.215) без учета изменения метрики (б2 = 1). Поскольку угол поворота нормали #2 связан с первой производной по р от нормального перемещения w, то в выражении (4.217) выполним дальнейшее преоб-" разование, связанное с интегрированием по частям последнего слагаемого:

Для получения результатов достаточной степени точности при решении задач теории оболочек ограничиваются, как правило, удержанием небольшого числа первых членов разложения. Приведем несколько примеров. При удержании только первых членов разложения (5.1), т. е. в предположении, что касательные и нормальные перемещения постоянны по толщине, получим уравнения безмомент-ной теории оболочек. Если удержать в (5.1) для касательных перемещений vit vt, два члена разложения, а для нормального перемещения У3 ограничиться первым членом, то получим уравнения теории оболочек, соответствующие гипотезам С. П. Тимошенко. При дополнительном условии об отсутствии деформаций поперечного сдвига получим классические гипотезы Кирхгофа—Лява и соответствующие им уравнения. В приведенных примерах эффекты, связанные с деформациями поперечного сжатия, оказались вне рассмотрения, поскольку для нормальных перемещений удерживался только первый член разложения. При построении моделей более высокого порядка эти эффекты можно легко учесть.

Поскольку связь касательного перемещения и и нормального перемещения w с радиальным и осевым перемещениями и ? осуществляется с помощью соотношений ы = ? cos 9 + t, sin 9; w — = ? sin 0 — t, cos 0 (0 — угол между осью вращения и внешней нормалью), то перевод в глобальную систему можно осуществить с помощью преобразования

ления перемещений по толщине слоя. Перемещения раскладываются в степенные ряды относительно аргумента г. Для аппроксимаций нормального перемещения v^ удерживаются первые три члена разложения, для касательных перемещений v{3), v^ — четыре:

Пологие оболочки. Уравнения Доннелла — Муштари — Власова. Считают, что для пологих оболочек интенсивности тангенциальных усилий <7i и q2, как и тангенциальных перемещений, составляют величины порядка hlR (и менее) от интенсивности <7з и нормального перемещения соответственно. Кроме того, предполагают, что тангенциальными силами инерции можно пренебречь. Тогда первым двум уравнениям в (133) можно удовлетворить, если ввести функцию напряжений х по формулам