Неизвестные температуры

Четыре неизвестные постоянные А, В, ф! и ф2 определяются из начальных условий, выражающих значения отклонений х\о, Х2о и скоростей Хю, х2о в начальный момент времени, например

гружения цилиндрической пружины (сосредоточенными силами, приложенными к торцам) при малых деформациях, как наиболее простой, детально исследован, например, в [11]. Следует заметить, что симметричное и несимметричное нагружения при определении малых деформаций пружины приводят к разным по сложности задачам. При симметричном нагружении малые изменения кривизны и кручения (AQi, AQs) можно считать постоянными, в то время как при несимметричном нагружении они зависят от дуговой координаты s. В результате нагружения внешними симметричными силами винтовой стержень остается винтовым стержнем, но с другими геометрическими параметрами (R, a, QI, из)-Это возможно для длинной (по сравнению с диаметром D) пружины, когда влиянием закрепления концов стержня можно пренебречь, или для винтового стержня, когда концы стержня могут свободно перемещаться в плоскости, перпендикулярной осевой линии стержня. В этом случае в уравнение равновесия войдут неизвестные (постоянные) кручение QI и кривизна Q3, диаметр D и угол а1 (рис. 5.8,а), причем можно, не используя уравнений равновесия, определить приращения Я, а и D (АЯ, Да и Д/3) как при малых их значениях, так и при больших.

где ат — неизвестные постоянные коэффициенты, a fm (х, у] — известные функции пространственных координат. Если подставить (4.4) в функционал (4.3), то можно провести интегрирование по пространственным переменным и получить величину /, зависящую уже не от неизвестной функции, а от неизвестных коэффициентов разложения (4.4):

где Ф и рх — неизвестные постоянные.

Неизвестные постоянные Afj (i = 1, . . . , -/V), численно равные значениям S" (е^), определяются из решения линейной системы алгебраических уравнений TV-го порядка, образованной N — 2 условиями непрерывности функции S' (в) в точках ег и двумя граничными условиями (например, следующего вида: Мг = a" (BJ), Ж" Y = = ст" М).

где Я< — неизвестные постоянные (множители Лагранжа).

где Фи PI— неизвестные постоянные.

при z=l w(l)=Q, w'(l) = 0 и неизвестные постоянные

Эти четыре линейных однородных уравнения содержат четыре неизвестные постоянные С\ — С4. Решение их отлично от нуля только тогда, когда определитель из коэффициентов при неизвестных равен нулю. Для упрощения решения введем в уравнение (а), (Ь), (с) и (d) новые неизвестные величины: (Ci + Ca), (Ci—С2), (С3--+ С4), (Сз—С4); положим далее е± = ch Л/ + sh А/ и соответг ственно е±/АГ = cos A/+ ysin А/.

где а2, 62 — неизвестные постоянные и

проникновения тока в медь. Неизвестные постоянные интегрирования можно определить из граничных условий:

В схеме (3.76) неизвестные температуры обозначены как элементы двумерного массива — и'п, т. Однако при записи линейной системы уравнений всем неизвестным надо присвоить сквозную нумерацию и представить их в виде одномерного массива — вектор-столбца. Такая перенумерация позволяет представить систему разностных уравнений в общепринятой матричной форме записи систем линейных алгебраических уравнений и воспользоваться стандартными программами их решения. Выполним перенумерацию по горизонтальным прямым слева направо и снизу вверх. В этом случае неизвестные нижней горизонтальной прямой обозначаются «{, «2, ••-, "jv, неизвестные второй горизонтальной прямой — «лц-р .... «2jv и т. д. Пример такой перенумерации показан на рис. 3.14. Общая формула пересчета индексов гс, т двумерного массива в индекс k одномерного массива имеет вид

Основной частью программы является та, в которой производится формирование линейной системы. Формирование матрицы А и столбца свободных членов В производится на основе единой нумерации всех неизвестных температур. Нумерацию можно проводить различным образом. Например, сначала поставить температуры стенки /j, ..., tfj, а за ними расположить температуры жидкости ц,, ..., и\. При этом все неизвестные температуры сводятся в один вектор-столбец длиной IN — {H^m}m^=i- Однако такой способ нумерации применять нецелесообразно, поскольку он дает слишком широкую ленту матрицы и приводит к увеличению объема требуемой памяти и затрат машинного времени. В этом случае, например, в первое уравнение (5.40) для температуры стенки <, входит температура жидкости Ui, и поэтому уравнение линейной системы для неизвестного Wl—t^ будет содержать также неизвестное W,v+i = =; «,, т. е. ширина ленты матрицы при данной нумерации будет равна /V 4- 1.

Система (2.37) безусловно устойчива, но процедура решения неявных разностных уравнений осложняется тем, что каждое из них (за исключением уравнений для границ) содержит три неизвестные температуры 1*i + {, Г?"1"1 и Г?-}, и все п уравнений должны решаться совместно. Поскольку система уравнений (2.37) имеет трехдиагональную матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, каждое уравнение

Из написанных уравнений можно легко определить неизвестные температуры /ci и tC2- Преобразив уравнения аналогично предыдущему, получим расчетные формулы:

Исключив из (17-49) неизвестные температуры экрана и учитывая, что при стационарном режиме Qi,3i=Q3i,a2= ... =<2(1,2)э, можно найти выражение для потока результирующего излучения:

Неизвестные температуры tc\, tci и tc3 могут быть определены из уравнений (е):

Чтобы определить неизвестные температуры стенки tc\, tC2, tcz, надо значение qi из (6-10) ^подставить в (н). Решая их, получаем:

Неизвестные температуры fel, из уравнений (е):

Чтобы определить неизвестные температуры стенки tel, tc2, tca, надо значение qi из уравнения (6-10) подставить в уравнения (н). Решая их, получаем:

Если написать еще уравнения для двух зон пламени, аналогичные уравнению (123), то, задавшись результирующими тепловыми потоками для этих двух зон пламени, можно найти неизвестные температуры. При этом необходимо иметь в виду, что алгебраическая сумма результирующих тепловых потоков для всех зон, включая и граничные, должна быть равна нулю, т. е.