Неизвестных переменных

Основная особенность данной системы уравнений заключается в том, что в уравнения (3.74) входят слагаемые, зависящие от неизвестных перемещений точки приложения реакции R. Аналогичные задачи статики при наличии упругих и жестких промежуточных связей, наложенных на стержень, были рассмотрены в § 2.2, где были приведены уравнения равновесия с учетом реакции связей и методы ,их решения.

Для отыскания неизвестных перемещений Zlf Z2, ... составим такие условия, которые ликвидируют разницу между основной и заданной системами. Отличие основной системы от заданной состоит в том, что она содержит введенные связи, которых нет в заданной системе.

Таким образом, полную энергию системы можно представить как квадратичную функцию п неизвестных перемещений yf, где п — полное число степеней свободы узлов.

Широкое внедрение ЭВМ в расчетную практику позволило создать библиотеки подпрограмм для различных элементов оболочек и пластин, позволяющие по единообразным данным о геометрии элемента, поверхностным и краевым нагрузкам и перемещениям вычислить неизвестные перемещения, усилия и напряжения в сечениях элементов. Для многих тонкостенных элементов постоянной толщины имеются аналитические формулы, например для цилиндрических, сферических, конических оболочек, круглых и кольцевых пластин, некоторых оболочек линейно-переменной толщины. Традиционные методы строительной механики — методы сил, перемещений, начальных параметров — позволяют рассчитывать конструкции, представленные в виде различных комбинаций базисных элементов. Численная процедура сводится к решению систем алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений или усилий в местах сопряжения элементов.

Для конструкции в виде последовательно сопряженных разнотипных элементов применяют различные методы строительной механики. При расчете по методу сил (перемещений) порядок системы алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений (усилий) в сопряжениях элементов пропорционален числу таких сопряжений. При относительно большой длине меридиана конструкции, когда влияние краевых условий не сказывается на противоположном краю, в решении системы уравнений накапливается погрешность, вызванная появлением малых разностей больших чисел и ограниченной разрядностью машинного числа. Для сохранения требуемой точности вычислений могут быть применены варианты матричной прогонки.

Искомые перемещения или усилия в сопряжениях принимают заданные значения (а,- = 0) .Такими сопряжениями являются, в частности, идеальные сопряжения (столбец а в табл. 3.3), для которых, кроме того, ft = 0, т.е. правая часть дополнительного соотношения равна нулю. Примерами, когда ft Ф О, являются заданный начальный зазор между конструкцией и спорным элементом, силы трения при заданных нормальном усилии и коэффициенте трения. В этих случаях дополнительные соотношения не содержат величин искомых разрывов и последние не удается исключить из совокупности неизвестных величин. Краевая задача становится существенно многоточечной, так как знание начального вектора недостаточно для определения неизвестных перемещений и усилий в сопряжениях . Разрывные особенности в сопряжениях элементов при а,- = 0 нарушают единообразную вычислительную процедуру решения двухточечной краевой задачи. Небольшое количество дополнительных неизвестных разрывных величин существенно изменяет характер разрешающей системы уравнений. Поэтому для расчета целесообразно применять расчленение на подконструкции по сопряжениям, где часть искомых перемещений или усилий известна.

Таким образом, для удобства расчета на ЭВМ многократно статически неопределимых конструкций с дополнительными разрывами неизвестных перемещений и усилий могут быть применены два подхода, общим для которых является разделение всех неизвестных на две группы: перемещения и усилия, непрерывные во всех сопряжениях либо претерпевающие разрыв на заданную величину, и величины, претерпевающие разрыв на неизвестную величину, определяемую с помощью дополнительных соотношений для этих сопряжений. Первый подход заключается в том, что расчленение конструкции на базисные подконструкции выполняют по сопряжениям, в которых имеют место разрывы неизвестных величин. Тогда все базисные подконструкции представляют собой последовательно сопряженные элементы с непрерывными искомыми величинами. При стыковке подконструкции решается дополнительная система алгебраических уравнений относительно неизвестных величин перемещений и усилий в местах расчленения, порядок которой, как правило, относительно небольшой. При построении этой системы в ней сосредоточиваются все индивидуальные особенности конструкции, связанные с рассматриваемыми разрывными сопряжениями. Расчленение конструкции указанным способом уменьшает порядок последней системы уравнений, если часть перемещений и усилий в местах расчленения является известной.

s — вектор неизвестных перемещений;

где U — вектор неизвестных перемещений в узлах конечных элементов; R — вектор внешнего заданного воздействия; [/((U)] — квадратная матрица жесткости конструкции, элементы которой теперь зависят не только от свойств ее материала, но и от ее напряженно-деформированного состояния, выражаемого через вектор перемещений U. Именно это обстоятельство приводит к тому, что решение системы уравнений равновесия в этом случае не может быть получено прямыми методами и для их решения используются итерационные методы. Остановимся на тех из них, которые наиболее часто употребляются в расчетах по методу конечных элементов.

Однако для формирования матрицы [К\ и вектора-столбца {Р) удобнее считать сначала число неизвестных перемещений и^- и u2j равным 2N, где N - общее число узлов сетки конечных элементов. Тогда в уравнении (4.4.29) {и} - матрица (2JVxl) (вектор-столбец) узловых значений перемещений Иу и U2j, j=l,2,...,JV;

Принимая в качестве возможных перемещений единичные перемещения по направлениям всех связей, кроме тех, в которых перемещения заданы, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений uit j и wit /. Для решения этой системы используется итерационный метод — метод релаксации [19] с ускорением сходимости по Л. А. Люстернику. Составленная по этой методике универсальная программа [18] применительно к машине ICL4-50, 4-70 позволяет область произвольного очертания вписывать в поле размером 100 х 200 шагов, число неизвестных смещений может быть до 4000. Во время счета используется только оперативная память машины.

Для учета случайных нагрузок, возможных неточностей расчета и изготовления изделий, а также других неизвестных переменных вводят коэффициент запаса прочности. С помощью этого коэффициента обеспечивается уменьшение предельного (опасного) напряжения до величины допускаемого, при котором детали или конструкции могут длительно и надежно работать в заданных условиях.

Итерационный метод анализа перемещений. Матричное уравнение (10) необходимо рассматривать как уравнение неизвестных переменных всех кинематических пар (аг, i = 1, 2, . . ., п) при известных переменных ведущего звена. Определим известные переменные итерационным методом.

Таким образом, приходим к системе уравнений тензорного приближения (6-15), (6-20), (6-21) для полного излучения с граничными условиями (6-25) или (6-26). Эта система аналогична системе уравнений для спектрального излучения. Она также оказывается незамкнутой, поскольку состоит из шести скалярных уравнений и содержит 11 неизвестных переменных величин [три составляющих вектора полного потока излучения qf,i 174

Необходимым условием сходимости итеративного метода решения систем линейных алгебраических уравнений является следующее: сумма коэффициентов при неизвестных переменных в каждом уравнении не должна превышать единицу. Системы уравнений (4-10) и (4-14) этому условию удовлетворяют.

Другим и очень важным результатом теории является утверждение, что давление остается неизменным по толщине пограничного слоя. Поэтому распределение давлений вдоль пограничного слоя (по оси X) в уравнении (4-46) можно принимать таким, как предварительно рассчитано из условия потенциальности течения. В результате число неизвестных переменных в уравнениях (4-46) и (4-47) сводится к двум: wx и wv, и система уравнений становится замкнутой. К ней присовокупляются граничные условия (они представлены здесь в первоначальном, размерном виде):

Запишем систему уравнений (3.1) в матричном виде. Если D= I :d — множество уравнений (дифференциалов), а Z = 1 : 2 — множество неизвестных переменных (звеньев), то для матрицы коэффициентов и вектора неизвестных системы уравнений (3.1) удобно ввести следующие обозначения:

Расчет участка соединения крыла с фюзеляжем этого самолета потребовал около 7000 неизвестных переменных. Наличие столь большого количества неизвестных неудобно для обработки начальных данных и выявления возникающих при расчете ошибок. Поэтому на практике конструкцию обычно разбивают на части, или подконст-рукции (суперэлементы) (рис. 13), каждая из которых рассчитывается методом конечных элементов. На конечном этапе расчетов суперэлементы объединяются с помощью обычной конечно-элементной схемы. Исходные данные для расчета частично приведены в табл. 3.

Активные средства, под которыми понимается множество всех управляющих (искомых, неизвестных) переменных величин, т. е. множество факторов, которыми конструктор может варьировать в процессе проектирования машины или линии: во-первых, при выборе исходных (технологических) данных (способ обработки, режимы обработки и т. п.); во-вторых, при структурном синтезе, когда ищется структурное решение, соответствующее технологической задаче (числа позиций обработки, выполняемых на каждой позиции операций, объектов, обрабатываемых одновременно на каждой позиции, параллельных потоков и т. п.); в-третьих, при параметрическом синтезе, когда ранее найденное структурное решение воплощается в конкретные варианты элементов машин и линий (механизмы, блоки, устройства), отличающиеся принципом действия, компоновкой, наличием резервирования или быстросменных частей и т. п. и, как следствие,— стоимостью, надежностью, переналаживаемое!ью и т. п.

от искомого решения Ф(г, т) и других неизвестных переменных, входящих в математическое описание задачи. Так, при решении уравнения переноса импульса (уравнения движения) коэффициенты дискретного аналога могут быть функциями не только компонент вектора скорости, но и температуры, химического состава среды, кинетической энергии турбулентности и др. Для преодоления не-линейностей используются итерационные методы. На каждой итерации коэффициенты уравнений «за-

Метод переменных параметров упругости заключается в том, что пластическое тело заменяется эквивалентным упругим, имеющим одинаковые с пластическим телом деформации и напряжения, что возможно, если эквивалентное упругое тело имеет переменные параметры упругости (для изотропного тела - переменные модуль упругости и коэффициент Пуассона). Для определения первоначально неизвестных переменных параметров упругости также используют последовательные приближения.

Задача о положениях звеньев пространственного механизма состоит в определении неизвестных переменных параметров при заданном значении обобщенной координаты q механизма. Как рассмотрено выше, первым этапом при решении задачи о положениях является составление исходной системы уравнений анализа, связывающих постоянные и переменные параметры механизма. Второй этап заключается в решении данной системы относительно неизвестных параметров.

Теперь, как и в случае с гибридным элементом в перемещениях, можно вывести глобальную систему уравнений [прибавляя (3.29) к энергии всей остальной конструкции] , в которую в качестве неизвестных переменных входят глобальные перемещения узлов и коэффициенты интенсивности напряжений.