Неизвестными коэффициентами

Системой уравнений (9.8) и (9.10) описывается динамический процесс, протекающий в машинном агрегате при учете упругости звеньев передачи. Неизвестными функциями в этой системе являются обобщенные координаты фл = фл(0 и ср,, = ф„(<).

Получены два уравнения (44.14) и (44.15) с двумя неизвестными функциями r(i) и ф((). Их достаточно, чтобы полностью определить движение. Однако нас сейчас интересует не вопрос о том, как протекает движение по времени, а форма траектории. Поэтому исключим из уравнений зависимость от времени. Из уравнения (44.14) следует, что ф = /,/(тг2). Подставив это выражение в уравнение (44.15), исключим из него ф. Далее представим г как сложную функцию от времени: r(t)==r[(f(tj]. Для удобства решения введем вместо т функцию

Системой уравнений (9.8) и (9.10) описывается динамический процесс, протекающий в машинном агрегате при учете упругости звеньев передачи. Неизвестными функциями в этой системе являются обобщенные координаты фд=фд(/) и фм = фм(0-

Можно считать, что в (2.23) неизвестными функциями являются w и N. Присоединим к (2.23) уравнение (1.9)3:

Переход от некоторой системы уравнений к эквивалентному ей одному, называемому разрешающим и являющемуся уравнением относительно новой функции, которая связана с неизвестными функциями исходной системы, используется в математике и механике довольно часто. Уравнение (9.99) является разрешающим для плоской задачи теории упругости.

На этих участках неизвестными функциями являются а , v , h.

Система дифференциальных уравнений (7.2) называется нормальной (канонической) системой обыкновенных дифференциальных уравнений [72]. Если неизвестными функциями системы дифференциальных уравнений являются xit х%, . . ., хп, которые могут рассматриваться как компоненты вектор-функции х — (хг, .хг, . . ., хп), а наивысший порядок производной функции х,; входящей в систему, равен q., /= 1, 2, ..... то число q. называется порядком системы относительно х.. Число п = V q. называется порядком системы урав-

Выражение для возмущающей функции f(t) через элементы системы и внешние нагрузки получается относительно несложно только в простых системах, например, в системах без разветвлений; во всех же других случаях алгебраические преобразования, связанные с получением одного дифференциального уравнения высокой степени и его правой части, очень сложны. При разветвленных эквивалентных схемах упругие моменты ответвлений входят в качестве дополнительных слагаемых в левую часть системы дифференциальных уравнений вынужденных колебаний. При этом левые части дифференциальных уравнений будут содержать более трех членов с неизвестными функциями, часть из которых находится под знаком производных.

На этих участках неизвестными функциями являются а , v , h.

с искомыми функциями у, у',... ,у("~^ и независимой переменной х. Таким образом вопрос о существовании и единственности решения уравнения л-го порядка может быть сведён к аналогичному вопросу, относящемуся к решениям системы уравнений 1-го порядка. Нормальная форма системы п диферен-циальных уравнений 1-го порядка с неизвестными функциями _У],..., уп имеет вид

Система я дифференциальных уравнений 1-го порядка с неизвестными функциями У!, уз, ..., уп в нормальной форме

Обозначим через у = f (bt, t) трендовую кривую, описываемую нелинейным уравнением с неизвестными коэффициентами bt (i = 1, 2, ..., k, где k — число коэффициентов). Исходя из требований метода наименьших квадратов, необходимо определить неизвестные коэффициенты bt так, чтобы достигался минимум остаточной суммы квадратов (2.1). Для определения минимума функционала (2.1) можно использовать метод поиска глобального экстремума [38].

Если с помощью подобных оценок удается определить величину xi2, то уравнение (4.39) дает связь между неизвестными коэффициентами р\% и р2\. Второе уравнение, необходимое для 9*

Пусть имеется математическая модель, характеризующаяся неизвестными коэффициентами (Xlt . . ., Хг, ^г+1, . . ., A,ft) = XTs еЕ Л, k ^> г, в области допустимого изменения внутренних параметров Л и «входными» регулируемыми параметрами (YI, • • • • • •> Yn) = Y 6= Г. Имеется также множество экспериментально исследованных состояний («режимов») механизма Э = (э^ . . . . . ., эг}, каждому из которых соответствуют известные векторы входных параметров уг = (YU, . . ., "fni), i = 1, . . ., I, и векторы критериев идентификации ?j = (elt, . . ., emi), i = 1, . . ., l. Причем известно, что на всем наборе Э = {э;}, i = 1, . . ., I, параметры, соответствующие коэффициентам Я,!, . . ., kr, постоянны, а остальные Лг+], . . ., Kjc для разных режимов могут быть различны. Считается, что модель идентифицирована, если для каждого эг, i = 1, . . ., Z, при соответствующем Vz определены наборы параметров К = (Я,15 . . ., А,г, V+ih • • •> ^fci) так, что: а) рассчитанные по модели критерии е" = (е^ , . . ., ё^{), i = 1, . . ., I, совпадают с соответствующими экспериментальными: е™, — е^ , < 8j, i = . = 1, . . ., I; / = 1, . . ., т, с погрешностью, не превышающей по-

4) Найти числа А/,, М&, Nk, для чего можно применить метод неопределенных коэффициентов, состоящий в следующем: приводят все элементарные дроби к общему знаменателю и приравнивают числитель полученной дроби числителю данной дроби, расположив оба числителя по степеням х; сравнивая между собой коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены, получают систему уравнений с неизвестными коэффициентами АЬ, М/,, А^, которые и определяются. После этого заданная правильная алгебраическая дробь окажется разложенной на элементарные дроби, и интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов

4) Найти числа Лд,, Mf,, Nf., для чего можно применить метод неопределенных коэффициентов, состоящий в следующем: приводят все элементарные дроби к •общему знаменателю и приравнивают числитель полученной дроби числителю -данной дроби, расположив оба числителя по степеням х; сравнивая между собой коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены, получают •систему уравнений с неизвестными коэффициентами Ak, Mk, Nk, которые и определяются. После этого заданная правильная алгебраическая дробь окажется разложенной на элементарные .дроби, и интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов

Приведенная система состоит из четырех уравнений с шестью неизвестными: коэффициентами момента Яи; Кт', А,?; углами выхода из решеток рк2; рТ2; Рр2- Для определения параметров проточной части одноступенчатого гидротрансформатора требуется задать дополнительно еще два параметра или два уравнения, связывающие неизвестные величины.

где С/п(х) и Кга (х) обозначают многочлены п-й степени с неизвестными коэффициентами, а число А .равняется кратности числа (х+Э/ как корня характеристического уравнения (если а-{-?/ не является корнем характеристического уравнения, то А=0). Чтобы .найти коэффициенты для <3п (х) и Кп (х), надо подставить указанное выражрние для у» (х) в уравнение 'И, произведя сравнение правых и левых чаете и, получить систему линейных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов.

Вместо (4-44) может оказаться более удобным брать какой-либо ортогональный полином, для которого неизвестными коэффициентами {и,]} будут коэффициенты ортогонального полинома.

как сварные соединения, получить аналитически не удается. Для определения К в них больше подходят метод каллокаций и МКЭ. В методе каллокаций используется аналитическое решение в виде ряда с неизвестными коэффициентами, численные значения которых находят из граничных условий. В МКЭ определяют работу, совершаемую силами при подрастании трещины на Д/ (рис.5.2.9,a,ff). Сначала находят упругое решение для рассматриваемого соединения, когда конец трещины расположен в точке 0.

Коэффициенты интенсивности напряжений обоих сингулярных элементов, предназначенных для стационарной и устойчиво развивающейся трещин, показанных на рис. 3(а) и (с), могут быть определены непосредственно, поскольку они являются неизвестными коэффициентами собственных функций стационарной трещины Уилльямса. В связи с тем что поля вблизи вершины трещины зависят от скорости динамически развивающейся трещины, коэффициент собственной функции (гс= 1) стационарной трещины не соответствует коэффициенту интенсивности напряжений развивающейся трещины. При определении корректного значения динамического коэффициента интенсивности напряжений в этом случае следует проявлять осторожность. Для достижения этой цели авторы данной главы разработали специальную формулу [31], которая будет приведена ниже.

Для вариации v (/), т. е. случайного отклонения от стационарного процесса и (t), характер распределения неизвестен. По-видимому, осноьным фактором, под влиянием которого формируется распределение^^), является состав реальных возмущений, сопровождающих работу^ объекта. В классической теории устойчивости возмущения рассматриваются как произвольные, ограничения накладываются лишь на их масштаб (малые возмущения, конечные возмущения). Если следовать этому принципу, то распределения случайных возмущений, а значит, и отклонений v (t) нужно считать произвольными. Можно принять, например, что функция v (t) является гауссовской или представить ее в виде разложения по степеням неизвестного нормального процесса v0 (t) с неизвестными коэффициентами bk:

2. Асферические решетки с переменным шагом штрихов. При нарезании решетки с переменным шагом на асферической поверхности задача оптимизации спектрального и пространственного разрешений может быть решена для достаточно широкого диапазона длин волн. Если задать форму поверхности решетки и распределение штрихов в виде степенных функций с неизвестными коэффициентами, их оптимальные значения могут быть определены