Нелинейные зависимости

Линейные дифференциальные уравнения (14) (или (15)) называются уравнениями линейного приближения. Они приближенно описывают движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия. Уравнения линейного приближения (14) сами по себе не определяют размеров области, в пределах которой точные нелинейные уравнения (10) могут быть заменены этими

При математическом моделировании движения жидкого металла В ближней зоне воздействия использовались нелинейные уравнения вязкой теплопроводной жидкости — уравнения Навье-Стокса. Для их численного решения использовался метод Маккормака, хорошо зарекомендовавший себя при решении данного типа задач. Расчеты показали, что под действием внешнего импульсного воздействия в расплаве возникают два типа движения среды: регулярные акустические течения, охватывающие достаточно большие области пространства, и турбулентные течения непосредственно на фронте кристаллизации, имеющие характер многочисленных мелкомасштабных вихрей.

Подробно рассмотрены различные частные случаи уравнений равновесия при больших (нелинейные уравнения) и малых (линейные уравнения) перемещениях точек осевой линии стержня.

Векторные уравнения равновесия стержня в декартовой системе координат. Нелинейные уравнения равновесия стержня в связанных осях удобны при решении многих конкретных задач и особенно, когда стержень нагружен следящими аилами, проекции которых известны именно в связанной системе координат. В том случае, когда проекции внешних сил известны в декартовой системе координат, можно воспользоваться уравнениями равновесия в декартовых осях. Конечно, всегда можно силы, заданные в одной системе координат, записать в любой другой. Связанные оси являются более эффективными при исследовании равновесия стержня, так как «физическое» уравнение (1.9), устанавливающее связь между внутренним моментом и 'Приращением вектора к, при упругих деформациях стержня в базисе {е,-} имеет

Рассмотрим нелинейные уравнения равновесия (1.57) — (1.61):

на рис. 3.1,а пунктирными линиями, которое мало отличается от исходного. Следует отметить, что предположение о том, что состояния равновесия неустойчивое и устойчивое при Р* близки друг к другу, позволяет описать состояние равновесия стержня после потери устойчивости линейными уравнениями. Если получающиеся из линейных уравнений критические нагрузки действительны, то можно считать, что принятое предположение о близости возможных форм равновесия является обоснованным. Если критические нагрузки из линейных уравнений определить нельзя или они получаются мнимыми, то это говорит о том, что или указанное предположение неверно, или смежного состояния равновесия вообще нет. В этих случаях надо рассматривать или нелинейные уравнения, считая, что перемещения точек осевой линии стержня и повороты сечений стержня после потери устойчивости являются конечными, т. е. рассматривать неустойчивость «в большом», или исследовать устойчивость движения стержня вблизи исходного состояния равновесия.

В гл. 1 были выведены нелинейные уравнения равновесия стержня в связанных и декартовых осях, которые позволяют получать уравнения равновесия для различных частных случаев с учетом всех особенностей стержня и нагружающих его сил.

Нелинейные уравнения равновесия, когда осевая линия нагруженного стержня — пространственная кривая.

Нелинейные уравнения равновесия стержня, когда осевая линия нагруженного стержня — плоскаякривая.

Нелинейные уравнения равновесия стержня в связанных осях.

Нелинейные уравнения равновесия в декартовых осях. В том

3. Из приведенных асимптотических формул видно, что при уменьшении расстояния от конца трещины напряжения неограниченно растут и при г = 0 "равны бесконечности". Но задолго до "бесконечности" перестает быть справедливым закон Гука и вступают в силу нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями - развивается интенсивная пластическая деформация, а напряжения оказываются ограниченными. Но не только в этом причина ограниченности напряжений. При точном решении задачи теории упругости напряжения также будут ограниченными по величине даже в идеально упругом теле, когда линейный закон Гука справедлив для малых объемов непосредственно у поверхности разреза. Дело в том, что в математическом решении, из которого затем были получены асимптотические формулы для напряжений, граничные условия относились не к деформированной поверхности разреза, а сносились на ось х. У конца трещины в результате деформации возникают значительные изменения углов наклона свободных поверхностей (велики градиенты перемещений). Точная постановка задачи теории упругости требует соблюдения граничных условий на текущей поверхности разреза, т. е. на той, которая получается при деформации тела внешними нагрузками. При этом задача становится нелинейной и сложной. Образующийся в конце разреза малый, но конечный радиус кривизны, возрастает с ростом величины внешних нагрузок и обеспечивает ограниченные (хотя и большие) напряжения.

Для очень широкого круга задач о колебаниях в машинах существующие нелинейные зависимости могут быть приближенно заменены линейными, и это приводит к большому упрощению. Такая замена возможна, однако, лишь в тех случаях, когда фактическая нелинейность не приводит к существенным явлениям, выпадающим из рассмотрения при линейной трактовке задачи.

деформаций в элементах реакторов от механических и тепловых эксплуатационных нагрузок и сопоставлению их с разрушающими упругопластиче-скими деформациями для двух указанных выше предельных режимов нагружения (с заданными амплитудами деформаций или напряжений). Первая часть вопроса прочности и ресурса при малом числе циклов нагружения решается рассмотренными ранее расчетными и экспериментальными методами определения напряженно-деформированного состояния. При этом в 60-х годах для приближенного анализа циклических упругопластических деформаций в зонах концентрации в качестве исходного использовалось предположение о равенстве теоретических коэффициентов концентрации напряжений а„ и коэффициентов концентрации упругопластических деформаций Ке. В дальнейшем прямыми экспериментами (с применением оптически активных наклеек, муара, сеток, малобазных тензорезисторов), расчетами методами конечных элементов и конечных разностей, а также аналитическими решениями было показано, что предположение о равенстве а„ и Ке дает все возрастающие погрешности (в небезопасную сторону) по мере увеличения номинальных напряжений и уменьшения степени упрочнения металла в упругопластической области. В связи с этим к началу 70-х годов в расчетах прочности при малоцикловом нагружен™ стали использоваться [5, 6, 17-19] нелинейные зависимости между аа и Ке (при этом

Для поиска ращональной конструкции коромысла разработана уточненная методика, которая позволяет определять напряженное состояние в различных сечениях коромысла» Размеры поперечных сечений вдоль длины коромысла могут варьироваться по высоте н площади сечения. В качестве соотношений изменения высоты и площади живого сечения коромысла взяты нелинейные зависимости» Зависимость изменения высоты сечения принята в виде

Размеры поперечных сечений коромысла по длине могут, варьироваться. В качестве соотношений Изменения высоты и площади сечения приняты нелинейные зависимости. При расчете учтены нагрузки, возникающие как при установишемся, так и при неустановившемся движении в период разгона до заданного режима.

подтверждено прямыми измерениями. Так, в широком диапазоне нагрузок наблюдалась строгая пропорциональность удельных давлений величине внешней нагрузки. При этом отсутствовали нелинейные зависимости, связанные с контактными деформациями.

Особенностью данного класса динамических систем является то обстоятельство, что нелинейные зависимости от фазовых координат в качестве сомножителей содержат случайные функции времени и являются особой разновидностью так называемых

Нелинейные зависимости теплофизических свойств и коэффициента теплоотдачи а2 — заданные таблично функции температуры.

Элементы машин и конструкций представляют собой физические тела, обладающие свойством упругости, т. е. способностью восстанавливать свои первоначальные размеры после устранения нагрузки, вызвавшей деформацию. Это свойство в действительности проявляется не в чистом виде; на самом деле существует различие в процессе деформирования при нагружении и разгру-жении, а также зависимость процесса от скорости деформирования. Во многих случаях тело принимают идеальным в виде упругой механической системы и с линейной зависимостью между силой и. отклонением или скоростью; в этом случае система называется линейной; часто, бывает необходимо учитывать нелинейные зависимости, а также гистерезис, т. е. несовпадение зависимостей силы от отклонения при нагружении и разгружении. В этих случаях соответствующая система называется нелинейной — псевдогармонической. В случаях когда механические параметры системы изменяются во времени, система называется квазигармонической.

Тогда нелинейные зависимости (9.2) могут быть приближенно заменены следующими линейными зависимостями:

Сложность (в ряде случаев возможность) решения оптимизационных задач при недетерминированном задании исходной информации определяется свойствами объекта оптимизации и принятыми формами их учета при постановке задачи. Подобные задачи могут различаться во временном аспекте: быть статическими и динамическими; по виду зависимости выражения критерия эффективности (например, приведенных расчетных затрат) относительно случайных величин иметь линейные и нелинейные зависимости; по характеру взаимосвязей между случайными величинами (взаимно независимые и взаимно зависимые случайные величины); по наличию или отсутствию ограничений на случайные величины и по виду зависимостей функций ограничений относительно случайных величин (линейные и нелинейные зависимости).