Нелинейных дифференциальных

К ВОПРОСУ О СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В настоящей статье рассматриваются вопросы исследования нелинейных автоматических систем с автоколебательным рабочим режимом.

B. К. Асташев. Периодические движения упругого стержня с ограничителем .... . 128 В. И. Сергеев. К вопросу о статистической динамике нелинейных автоматических систем 135,

3. Е. П. Попов и И. П. Палътов. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М., Физматгиз, 1960.

В гл. IV—VI излагается ряд положений, позволяющих обобщить метод эффективных полюсов и нулей на исследование нестационарных и нелинейных автоматических систем.

23. Попов Е.П.,Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М., Физматгиз, 1960, 791 с.

Под нелинейной автоматической системой обычно понимается (см. § 1.1) комплекс конечного числа звеньев, причем динамика большинства из них описывается линейными уравнениями, а одно или несколько звеньев описываются нелинейными уравнениями. При расчете нелинейных автоматических систем принято выделять нелинейное звено, а все остальные линейные звенья объединять условно в один блок, называемый линейной частью системы (рис. 3.22,а). Если в системе не одно, а два или больше нелинейных звеньев, то, выделив нелинейные звенья, получают соответственно несколько отдельных линейных частей (рис. 3.22,6). В структуре системы, показанной на 126

Сопоставление приведенных ранее результатов экспериментальных исследований гидравлических следящих приводов с математическими условиями, выполнение которых необходимо для применения метода гармонической линеаризации к исследованию нелинейных автоматических систем, а также с возможностями метода гармонической линеаризации позволяет сделать следующие выводы.

Система уравнений (3.20) представляет собой шесть дифференциальных уравнений с шестью неизвестными А, у, z, q, p, R, которые являются функциями времени t. Первое и пятое — нелинейные уравнения. Решение этой системы сводится к определению, например, перемещений рабочего органа в функции времени, т. е. к нахождению функции z — z(t). Порядок решения примем в соответствии с методикой приближенного исследования нелинейных автоматических систем, разработанной Е. П. Поповым [86]. Исследование устойчивости привода производим при его свободном движении, когда внешние воздействия сняты, т. е. 5 = 0 и х = 0. Имея в виду высокий (четвертый) порядок полученной системы уравнений, произведем некоторые упрощения, не затрагивающие качественной стороны характеристики привода, а именно: примем, что 'поршень цилиндра достаточно надежно уплотнен и утечки между полостями цилиндра, отсутствуют, т. е. С = 0, маслопроводы между копировальным прибором и силовым двигателем имеют достаточное проходное сечение, так что потерями на вязкое трение в них масла можно пренебречь, т. е. BI = 0, упругость маслопроводов незначительна по сравнению с таковой в полостях цилиндра или расположена у полостей цилиндра, т. е. В12 = 0, и связь между силовым цилиндром и рабочим органом имеет высокую жесткость, т. е.

За последние годы для анализа устойчивости нелинейных автоматических систем стали применять второй метод А. М. Ляпунова. Возросший интерес к работам Ляпунова не только со стороны советских, но и иностранных специалистов объясняется многими обстоятельствами.

86. Попов Е. П. и Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.. Физматгиз, 1960.

Получилась сложная система нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, решение которой возможно численным методом с помощью ЭВМ. Следует заметить, что коэффициенты этих уравнений являются сложными функциями двух переменных, cpj и ф4, которые должны быть предварительно вычислены, и что это представляет довольно трудоемкую работу.

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить — они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений.

Описанный способ получения точечных отображений применим для любых кусочно-линейных динамических систем второго порядка и в более общем случае, когда фазовая плоскость разбивается на три, четыре и большее число областей. Однако практические трудности в решении задачи при этом возрастают из-за громоздкости получаемых выражений. Лишь с созданием быстродействующих электронно-вычислительных машин появились новые возможности для преодоления математических трудностей при решении не только этих, но и более сложных и громоздких задач. Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта,

В общем случае уравнение движения механизма не решается точно в виде конечной функции. Обычно применяют приближенные либо численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, а уравнениям движения механизма придают вид, наиболее удобный для исследования в данных конкретных условиях характеристик нагружения.

Известно, что для широкого класса стахостических нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными существует метод, позволяющий найти функцию q2(t)=f(qi(t)) при одном и том же t. В этом случае переменная q2 подчинена переменной QI (принцип подчинения). Это позволяет существенно упростить сложную задачу,

Такой фазовый график играет важную роль при решении нелинейных дифференциальных уравнений. Очевидно, что для данных значений tug и С уравнение (135) выражает собой кривую на фазовом графике. Для различных значений этих постоянных мы получаем семейство кривых, изображенных на рисунке. Замкнутые кривые вокруг точки 6 = 0 и 9 = 0 соответствуют значениям С и а>0, допускающим периодическое движение маятника около положения равновесия; незамкнутые кривые характеризуют движение, для которого начальные значения этих постоянных соответствуют движению маятника

Численная аппроксимация нелинейных дифференциальных уравнений теллопереноса и гидромеханики поверхностей проведена методом сквозного счета в конечных разностях к единой трехмерной прямоугольной области.

В результате получаем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений (П. 166) — (П. 167), из которых определяются xj(e.) и x'j(e). Определив Xj(s), получаем

Основная область эффективного применения АВМ — исследование и анализ объектов, процессов, кинематики и динамики систем, поведение которых в пространстве и времени описано дифференциальными уравнениями, а точное аналитическое их решение громоздко или вообще не осуществимо. Решение линейных и нелинейных дифференциальных уравнений по своей важности оставляет далеко позади все другие возможности использования АВМ в курсе ТММ. Даже такие задачи, как извлечение корней многочленов при решении системы алгебраических уравнений, решаются проще, если их свести к эквивалентным дифференциальным уравнениям. К задачам, эффективно решаемым на АВМ, относятся, как правило, механизмы с упругими (гибкими) связями, пневматические, гидравлические и электрические механизмы.

Получилась сложная система нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, решение которой возможно численным методом с помощью ЭВМ. Следует заметить, что коэффициенты этих уравнений являются сложными функциями двух переменных, фх и ф4, которые должны быть предварительно вычислены, и что это представляет довольно трудоемкую работу.

Закон изменения координаты 2 находится непосредственно из решения уравнения (32.4), а для определения координат ф и х имеем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (32.3) и (32.5), которая обычно решается численными методами на ЭВМ.