Нелинейных граничных

АВТОКОЛЕБАНИЯ - устойчивые незатухающие периодические колебания, возникающие в нелинейных динамических системах при отсутствии внешних периодических воздействий. Интенсивность и частота А не зависит от изменения в определенных пределах начальных условий динамической системы. Системы. в которых происходят А , называются автоколебательными. А в физической системе возможны лишь тогда, когда поступление энергии от ее источника за определенный период равно потере (рассеянию) энергии за то же время. Если нелинейная динамическая система описывается дифференциальным уравнением

В настоящей главе изложены синергетическая методология анализа механического поведения материалов, учитывающая универсальность и масштабную инвариантность параметров, контролирующих неравновесные фазовые переходы. Междисциплинарный подход к решению проблемы установления фундаментальных свойств материала, позволил установить взаимосвязь между различными механическими свойствами и предложить алгоритм расчета механических свойств по данным модельных испытаний. Лауреат Нобелевской премии И. Пригожий предвидел это, написав: «Итак, оказывается, что столь важные и широко распространенные механические явления, как пластичность и текучесть, невозможно исследовать на чисто механической основе! Вместо этого их следует рассматривать как часть общей проблематики нелинейных динамических систем, работающих вдали от равновесия. Нам представляется, что уже само осознание этого обстоятельства есть существенное продвижение в области науки о материалах».

В данной работе на примере сплавов типа «переходный металл (ПМ) — металлоид (М)» (преимущественно) изучалось проявление общих закономерностей поведения нелинейных динамических систем в процессах масштабного структурообразования при заколке расплавов с получением стеклообразных (аморфных) металлических сплавов (скорость охлаждения расплава 105—107 град/с определялась по осциллограммам кривых охлаждения).

Получаемые на основе линеаризованной математической модели закономерности, характеризующие динамическое поведение исследуемой системы, называют линейными приближениями истинных нелинейных динамических законов. Нахождение линейных приближений является целесообразным этапом, обеспечивающим простыми средствами подготовку к рациональному исследованию нелинейной

1. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В теории нелинейных динамических систем центральное место занимает проблема, связанная с анализом и синтезом систем с учетом воздействия случайных возмущений. Эта область исследований получила название статистическая динамика нелинейных систем.

В общем случае уравнения' движения исследуемого класса нелинейных динамических систем определяются в виде связи между входными возмущениями Д- (t) и выходными координатами х{ (t), т. е.

Существующие различные методы решения задач статистического анализа нелинейных динамических систем можно разделить в общем случае на точные и приближенные. К точным методам относятся такие, которые в принципе позволяют отыскать вероятностные характеристики исследуемых случайных процессов, определяющие их полностью в статистическом смысле: n-мерные функции плотности распределения вероятностей или характеристики моментов высших порядков. Приближенное решение характеристических уравнений для соответствующих вероятностных распределений или моментов обусловливает множество приближенных методов анализа.

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие: 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. ]; 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69]; 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54 ]; 4) метод моментов [33, 74, 69 ]; 5) семиинварианты (кумулянты) [25]; 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50]; 7) канонические разложения [85]; 8) метод Винера [8'5] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [851 и др.

Другой разновидностью методов статистического анализа нелинейных динамических систем являются методы статистических испытаний (метод Монте-Карло) [26, 85] и эквивалентных возмущений [85]. Эта группа методов принадлежит к классу экспериментальных и реализуется непосредственно на АЦВМ (ГВМ).

Приведем краткие характеристики наиболее распространенных в практике методов статистического анализа нелинейных динамических систем.

Метод нелинейных интегральных уравнений позволяет найти выражение для потенциала при нелинейных граничных условиях наиболее общего вида. Расчет потенциала по методу нелинейных интегральных уравнений

Учитывая, что амплитуды свободных колебаний любой точки балки будут зависеть от частоты свободных колебаний, будем искать решение уравнения (I. 1) в случае нелинейных граничных условий в виде:

Следует отметить, что система нелинейных граничных условий (I. 5) при предположении, что решение имеет вид (I. 3), не может прямо привести к желаемому результату, хотя таким методом и можно получить некоторое представление о характере движения балок, имеющих нелинейные граничные условия.

Основное частотное уравнение (I. 13) можно составить для многих различных комбинаций нелинейных граничных условий. Если некоторые граничные условия оставить линейными, число случаев будет еще большим.

Следует отметить, что в случае нескольких нелинейных граничных условий у балки приближенные решения будут, очевидно, хуже отражать действительность, чем в случае наличия у балки лишь одного нелинейного граничного условия.

Таким образом, линеаризируя граничные условия, можно написать соответствующие частотные уравнения для балок, имеющих самые разнообразные комбинации нелинейных граничных условий.

Линеаризацию нелинейных граничных условий (I. 5) или определение приведенной линейной жесткости опор можно выполнить любым из известных методов осреднения за период колебаний, применяемых в нелинейной механике. При любой нелинейной характеристике восстанавливающей силы / (у) имеется возможность для каждой амплитуды колебаний конца балки найти величину соответствующей приведенной линейной жесткости. Это возможно потому, что в данном случае можно найти связь между частотой свободных колебаний и ее. амплитудой. Для получения приведенной линейной жесткости в опорах используем уравнение движения конца балки в предположении, что его масса равна единице и он отсоединен от остальной части балки. Пусть f (у) есть упругая характеристика опоры балки. Тогда уравнение движения конца балки будет иметь вид

Свободные колебания балки, имеющей два нелинейных граничных условия. Выше отмечалось, что при наличии двух одинаковых нелинейных граничных условий колебания балки могут быть симметричными и антисимметричными, поэтому этот случай колебаний балки можно привести к колебаниям с одним нелинейным граничным условием.

Рассмотрим теперь наличие двух различных нелинейных граничных условий. Пусть, например, левый конец балки упруго заделан относительно поперечных перемещений и пусть при этом

При наличии у балки двух нелинейных граничных условий следует также составить функции грг (х) и т}з2 (х), но они теперь будут зависеть уже от двух параметров (постоянных), которые определятся из системы двух последних (нелинейных) уравнений. Следует подчеркнуть, что использовать нелинейные граничные условия можно только лишь произведя предварительно их линеаризацию. Это было обосновано выше при исследовании свободных колебаний.

Для исследования свойств вынужденных нелинейных колебаний балок рассмотрим их при наиболее типичных нелинейных граничных условиях.