Нелинейных зависимостей

Область, в которой можно пользоваться линейными уравнениями, сама по себе, разумеется, не определяется этими уравнениями и зависит от старших членов соответствующих разложений нелинейных функций в ряды. В этом смысле понятия «малые отклонения» и «малые колебания» условны. Слово «малое» в этих терминах говорит не буквально о малости самих отклонений или их областей, а скорее о малости наших знаний о границах этих областей. Во многих задачах механики оказывается, что области эти достаточно велики и покрывают полностью область отклонений, с которыми практически приходится иметь дело при любых действующих на систему внешних силах. В иных случаях, однако, оказывается, что области эти весьма ограничены, и замена нелинейных уравнений Лагранжа их линейным приближением требует в таких случаях большой осмотрительности.

на ускоренно движущемся объекте, на вибрирующем основами и т. д. Инерционная нагрузка, действующая на упругий элемент, может существенно изменить его основные характеристики, например, частотные. Кроме того, упругий элемент, находящийся на ускоренно движущемся объекте, может потерять устойчивость. Поэтому практический интерес представляет определение критических ускорений объекта, при которых возможна статическая потеря устойчивости, например потеря устойчивости плоской формы спиральной пружины (см. рис. В.1). Дело в том, что потеря устойчивости, например выход спирали из плоскости, может произойти при больших предварительных деформациях стержня в плоскости, что требует решения нелинейных уравнений равновесия.

Подставив (1.29) в уравнения (1.5), (1.6), (1.9), (1.19), (1.23) и (1.26), после преобразований получим систему нелинейных уравнений равновесия стержня в безразмерной форме (значок тильды в безразмерных величинах опущен) *:

Поэтому при записи нелинейных уравнений равновесия стержня в скалярной форме как в неподвижной, так и в связанной системе координат следует оговаривать характер поведения внешних нагрузок.

Определение приращений векторов внешних нагрузок. Выражения для приращений векторов внешней нагрузки (q, ji, Р<;> и T
Ограничимся случаем, когда сосредоточенные и распределенные силы и моменты постоянны по модулю. На рис. 1.16 показано два положения стержня: / и 0. Индексом 0 отмечено исходное положение стержня до нагружения его силой Р0. Рассмотрим наиболее общий случай, когда конечное положение стержня определяется из нелинейных уравнений равновесия, т. е. компоненты вектора и считать малыми нельзя. Векторы Р0 и Р могут быть-

В выражения (1.42) — (1.45) входит матрица L, элементы которой определяются при решении уравнений равновесия стержня (элементы матрицы L° считаются 'известными, так как они характеризуют естественное состояние стержня до нагружения). Элементы /,-/ матрицы L (см. in. 1.6 Приложения 1) зависят от углов поворота связанных осей •&/. Для сосредоточенных сил и моментов элементы /,-/ зависят от углов поворота осей, связанных с точкой приложения сил и моментов ^/(EK). Для распределенных сил и моментов элементы матрицы L, а также >и матрицы L0' есть функции координаты е. Полученные выражения для приращения сил и моментов необходимы 'При численном решении нелинейных уравнений равновесия стержня, когда используется метод последовательных нагружении.

Решение нелинейных уравнений равновесия стержня для более сложных случаев нагружения представляет значительные трудности и в аналитической форме записи, как правило, его получить нельзя. В таких случаях используют методы численного решения.

Уравнения равновесия нулевого приближения в декартовой системе координат. Получим уравнения равновесия стержня при малых обобщенных перемещениях щ и ft/ с использованием нелинейных уравнений (1.84) — (1.88). В декартовых осях уравнения (1.84) и (1.85) принимают вид

Во второй главе изложены методы численного решения уравнений равновесия (нелинейных и линейных). Для решения нелинейных уравнений равновесия рассматривается приближенный метод последовательного нагружения, когда на каждом шаге нагружения решаются линейные уравнения.

§ 2.3. Метод последовательных нагружений при решении нелинейных уравнений равновесия стержня

АВМ для образования сложных нелинейных зависимостей, хранения полученных результатов и программного управления АВМ. В системах второго типа АВМ используется как дополнит, внеш. устройство к ЦВМ для моделирования элементов реальной аппаратуры, многократного выполнения небольших подпрограмм.

Предельные допустимые расчетные характеристики могут быть рассчитаны на основе величин, определяемых из нелинейных зависимостей. Эти величины используют в качестве средней прочности и могут применять при расчете любого соединения, которое можно представить в виде комбинации соединений в одностороннюю, двустороннюю или врезную нахлестку. Если накоплено достаточно большое количество материалов по испытаниям соединений, то их можно использовать для определения статистических оценок несущей способности соединений. В сочетании с предсказываемыми значениями средней прочности эти оценки позволяют определить допустимые расчетные характеристики для самых разнообразных сочетаний материалов и конфигураций соединений.

При аппроксимации нелинейных зависимостей минимизируются суммы квадратов отклонений логарифмов этих функций.

Аналогичен смысл величин гу и ег. Что касается величин ухн, Ууг и yzx, то для них в условиях нелинейных зависимостей (6.38) или (6.41) геометрическую интерпретацию дать затруднительно.

Систему уравнений Кармана можно получить с помощью приведенных в § 19 геометрически нелинейных зависимостей для ЕХ, Kg, Y> если поперечный прогиб пластины w считать малой, но конечной величиной [12, 19]. Для решения системы уравнений (5.95) должны быть заданы граничные условия относительно поперечного прогиба w, усилий и перемещений в срединной плоскости пластины (подробнее см. [12]). Систему уравнений Кармана для практически интересных случаев удается проинтегрировать только приближенным методом; результаты таких решений можно найти в работах [19, 33).

Как показали исследования Н. С. Гамынина, весьма эффективным является метод получения динамических характеристик гидропривода, основанный на линеаризации исходных нелинейных зависимостей [44], [45].

При любом методе проведения оценки для принятого способа аппроксимации нелинейных зависимостей кусочно-постоянными функциями в конечном итоге получаем зависимость е2 = йе^

Плоские пружины (пластины) и змеевидные пружины определяют упругие характеристики в виде нелинейных зависимостей общего типа (рис.53) [107].

Если силовое передаточное отношение самотормозящейся передачи зависит от скорости звеньев (см. п. 40), то нелинейную систему дифференциальных уравнений движения (42.6) можно приближенно решить, воспользовавшись методом кусочно-линейной аппроксимации нелинейных зависимостей (см. п. 25 [34]). В случае, когда силовое передаточное отношение не зависит от скорости звеньев (или приближенно считается не зависящим от скорости), система дифференциальных уравнений движения машинного агрегата имеет кусочно-постоянные матрицы С и вектор-функцию F (t, у). Очевидно, в последнем случае самотормозящаяся передача может работать или в тяговом режиме, или в режиме оттормажи-вания.

Воспользовавшись методом, изложенным в п. 25, выберем определенный метод аппроксимации нелинейных зависимостей согласно (25.6). Допустим, что условия аппроксимации (25.3), (25.4) выполнены:

НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ