Нелинейными уравнениями

В и б р о и з о л я т о р, или амортизатор, — элемент виброзащитной системы, наиболее существенная часть которого — упругий элемент. В результате внутреннего трения в упругом элементе происходит демпфирование колебаний. Кроме того, в ряде конструкций амортизаторов применяют специальные демпфирующие устройства для рассеяния энергии колебаний. Динамические характеристики амортизатора существенно зависят от его статических характеристик, причем и те и другие являются нелинейными. Нелинейность характеристик амортизатора определяется рядом причин: нелинейными свойствами упругого элемента (например, резины), внутренним трением в упругом элементе, наличием конструктивных особенностей амортизатора типа ограничительных упоров, демпферов сухого трения, нелинейных пружин и т. д. На

Виброизолятор, или амортизатор, — элемент виброзащитной системы, наиболее существенная часть которого — упругий элемент. В результате внутреннего трения в упругом элементе происходит демпфирование колебаний. Кроме того, в ряде конструкций амортизаторов применяют специальные демпфирующие устройства для рассеяния энергии колебаний. Динамические характеристики амортизатора существенно зависят от его статических характеристик, причем и те и другие являются нелинейными. Нелинейность характеристик амортизатора определяется рядом причин: нелинейными свойствами упругого элемента (например, резины), внутренним трением в упругом элементе, наличием конструктивных особенностей амортизатора типа ограничительных упоров, демпферов сухого трения, нелинейных пружин и т. д. На

Слоистые композиты обладают нелинейными свойствами и интенсивной ползучестью в случаях, когда направление нагружения не совпадает с направлением волокон. При совпадении этих

2.4.2.2. Неупругая область перераспределения касательных напряжений (С, ^ sg: a). Известно, что по своей природе слоистые композиты обладают нелинейными свойствами при сдвиге. Однако учесть эту нелинейность в анализе напряженного состояния прямым способом невозможно.

(у металлов эффект значительно меньший/. Контакты между полупроводниками и полупроводников с металлами обладают эффектом выпрямления (нелинейными свойствами). По твердости, хрупкости и прочности на разрыв П. ближе к изоляторам, чем к металлам. П. имеют слишком мало электронов, способствующих ковкости и пластичности, как это имеет место у многих металлов. Если уронить или ударить, напр., германий, кремний или теллур,, они ведут себя подобно стеклу.

дят для оценки трещиностойкости композита, обладающего нелинейными свойствами, как, например, пластмассы, армированной стекловолокном. Для таких материалов при определении величины J необходимо использовать нелинейную модель разрушения, т. е. желательно использовать значения /1C.

В третьей главе исследуются динамические явления в приводах, содержащих самотормозящиеся механизмы, обладающие существенно нелинейными свойствами. Здесь рассмотрены как вынужденные, так и самовозбуждающиеся колебания (автоколебания).

Наличие самотормозящегося механизма с существенно нелинейными свойствами характеризует привод как нелинейную динамиче-

Для составления уравнений колебаний необходимо иметь сведения также о закономерности деформирования части машины под действием заданной силы. Закономерности деформирования весьма разнообразны. Так, для одних материалов (в особенности для металлов) зависимость деформации от силы в широких пределах близка к линейной, и деформация исчезает после устранения силы; для других материалов (пластмасс, резины и др.) зависимость нелинейная, и после устранения нагрузки деформация не полностью исчезает, а, кроме того, существует зависимость деформации от скорости нагружения. Отметим, что такими нелинейными свойствами может обладать составная конструкция, даже если материал, из которого она выполнена, имеет чисто линейную зависимость деформации от силы.

Ответственные узлы современного энергетического, авиационного и другого оборудования работают в условиях значительных тепловых нагрузок. В связи с этим повышенные требования предъявляются к термоупругим и термопластическим расчетам соответствующих конструкций, которые часто характеризуются сложной геометрией, неоднородностью строения и выполняются из материалов с нелинейными свойствами. Область применения аналитических методов в задачах подобного типа ограничена простейшими случаями; поэтому большое значение приобрели численные методы исследования, в частности используемый в настоящей работе метод конечных элементов.

Автоколебаниями называются колебания систем, происходящие при отсутствии внешних периодических сил. Поддерживающие автоколебания периодические силы возникают в системе в процессе самих колебаний. Возникновение автоколебаний упругой системы рассматривается как процесс свободных колебаний с отрицательным затуханием, которое приводит к нарастанию амплитуды колебаний до установившейся величины, определяющейся нелинейными свойствами системы. Такие условия получаются, например, при колебании тела, увлекаемого в движение силами трения] которые увеличиваются при малых скоростях и уменьшаются при больших.

исходными нелинейными уравнениями (10). Наличие этой свя- °

Связь нелинейных колебаний с самоорганизующимися процессами объясняется тем, что самоорганизующимися считаются любые автоколебательные процессы, обусловленные образованием устойчивых незатухающих колебаний независимо от начальных условий. В линейной области колебания всегда носят хаотический характер, а в нелинейной возможны автоколебания (упорядоченные колебания). Автоколебания отвечают условию, при котором отклик системы на внешнее воздействие не пропорционален воздействующему усилию. Эта ситуация математически описывается одними и теми же нелинейными уравнениями независимо от среды и условий, при которых возникают автоколебания [13].

Уравнения (1.100), (1.101) являются точными нелинейными уравнениями, так как в них сохранены произведения неизвестных векторов AxXQ, АхХМ, причем, как уже указывалось, компоненты векторов Q и М (в отличие от компонент вектора Ах) не являются малыми. Но если компоненты вектора Ах можно считать малыми по сравнению с компонентами вектора х0(1), то произведения AxXQ, ЛхХМ можно приближенно положить равными нулю. В этом случае получаем при решении уравнений при-

Свойство консервативности разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейшим образом — производные в дифференциальном уравнении и граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными разностями может привести к схемам, которые будут иметь большую погрешность, либо вообще окажутся непригодными для счета.

Как было показано в предыдущем параграфе, статически устойчивый регулятор может оказаться динамически неустойчивым. Исследование устойчивости движения системы, описываемой нелинейными уравнениями (17.14) и (17.15), представляет значительные трудности. Однако в большинстве случаев достаточно установить, является ли система динамически устойчивой при малых изменениях обобщенных КООрДИНЗТ Z И уТЛО пой скорости и. Тогда уравнения (17.14) и (17.15) могут быть сведены к одному линейному уравнению, для которого устойчивость движения проверяется по критерию Гурвица.

т. е. точки верхнего основания, лежащие на наружной -поверхности, окажутся на оси — верхнее основание цилиндра стянется в вершину конуса. Чем менее жесток материал цилиндра и чем больше его объемный вес, а также коэффициент Пуассона, тем меньшей оказывается длина Lnp, т. е. тем большим- оказывается угол при вершине конуса. Следует, однако, заметить, что при таких больших перемещениях нельзя пользоваться линейными уравнениями (9.3), справедливыми лишь для малых перемещений. Если же воспользоваться для решения этой же задачи нелинейными уравнениями, то результат получится иным, соответствующая ему форма, которую приобретает цилиндр в результате деформации, окажется значительно более сложной, чем конус с вершиной. 3. Найденные выше функции и, v и w полностью характеризуют форму деформированного цилиндра, но не позволяют судить о положении его в пространстве. Для охарактеризования этого положения нужно иметь данные о действительном закреплении цилиндра в пространстве. Если цилиндр закреплен так, что точки, лежащие на наружной окружности верхнего основания, не имеют вертикального перемещения (в плоскости основания они перемещаются, оставаясь на окружности и приближаясь к оси, т. е. располагаются на окружности меньшего радиуса, чем первоначальная), то весь цилиндр, сохранив форму, расссмот-ренную выше, опустится так, что центр нижнего основания получит вертикальное перемещение

На первом этапе движение машины описывается двумя нелинейными уравнениями:

Функциональные зависимости между параметрами схемы шарнирного механизма и заданными условиями синтеза описываются нелинейными уравнениями, решение которых требует отыскания параметров схемы шарнирного механизма. Решение этой системы уравнений часто сопряжено со значительными вычислительными трудностями и большими затратами времени.

Метод переменных параметров. Этот метод базируется на прямой аналогии между нелинейными уравнениями энергии теплового и электрического процессов. Действительно, аналогом нелинейного уравнения теплопроводности для твердого тела

линейными уравнениями, а одно или несколько (ограниченное число) звеньев описываются нелинейными уравнениями.

Под нелинейной автоматической системой обычно понимается (см. § 1.1) комплекс конечного числа звеньев, причем динамика большинства из них описывается линейными уравнениями, а одно или несколько звеньев описываются нелинейными уравнениями. При расчете нелинейных автоматических систем принято выделять нелинейное звено, а все остальные линейные звенья объединять условно в один блок, называемый линейной частью системы (рис. 3.22,а). Если в системе не одно, а два или больше нелинейных звеньев, то, выделив нелинейные звенья, получают соответственно несколько отдельных линейных частей (рис. 3.22,6). В структуре системы, показанной на 126