Неограниченном пространстве

Мы не будем приводить здесь исследования случаев Р < 0, ее > 0 и 'i > 0, у > 0, которые проводятся аналогично. Отметим только, что в этих случаях при определенных значениях в ;'п;;ампческой системе могут возникнуть неограниченно возрастающие колебания. Однако неограниченное возрастание колебаний требует неограниченного поступления в систему энергии извне, но это практически невозможно. Следовательно, в этих случаях приближение, взятое при разложении Тх (и + .('), недостаточно и нужно учитывать члены более высоких порядков.

Существует несколько формулировок критического состояния. Если есть начальный эксцентриситет, то неограниченное возрастание прогиба вала и есть критическое состояние вала. В случае отсутствия эксцентриситета при owtp (а - угловая частота, р - собственная частота) возмущенное движение представляет собой сумму гармонических колебаний с частотами р+Ф и р-со. Поскольку реальные механизмы работают в условиях выполнения неравенства р«ш, 'то обнаружение указанных выше комбинационных частот в секторе вибрации свидетельствует о критическом состоянии вращающегося ротора и необходимости снижения жесткосТи'вала при выполнении условия ф>ооЧ1, для высокоскоростных роторов добиться условия самосинхронизации, что позволяет достигнуть условия оптимальной эксплуатации оборудования.

Так, например, оболочку, нагруженную на торце силой TI (so) — A cos 2<р, нельзя рассчитать по безмоментной теории. Причиной этого является неограниченное возрастание усилий, а следовательно, и деформаций вблизи вершины s = 0 [ем. формулы (6.50)1. При этом перемещения, определяемые по (6.52), (6.53), также оказываются бесконечными. В действительности, вблизи вершины конической оболочки всегда возникает момент-ное напряженное состояние.

Легко заметить, что неограниченное возрастание <7* принципиально возможно только за счет экспоненциального множителя, который, в свою очередь, может достичь бесконечно больших значений при z —» —оо. Такая возможность, как было установлено выше, имеется в резонансных зонах условного осциллятора. Подобный характер поведения системы свидетельствует о потере динамической устойчивости, когда малые возмущения могут привести к существенным изменениям движения системы. Действительно, при Л о = 0 имеем q^ = 0. Однако при отмеченных выше условиях достаточно малым возмущениям вызвать начальную амплитуду АЛ, чтобы при t-* оо получить q^ —» оо. Поскольку отмеченный эффект вызван определенным изменением параметров системы, его называют параметрическим резонансом (см. подробнее п. 27).

откуда видно, что с неограниченным возрастанием угловой скорости центр массы диска стремится совпасть с осью вращения. Происходит «самоцентрирование» вращающегося вала в упругих опорах. Конечно, если вал заодно с диском предполагать асбсо-лютно жестким телом, неограниченное возрастание угловой скорости нужно понимать условно — это может быть возрастание до достаточно большого значения, для которого соотношение (3. 43) еще можно считать с большой точностью справедливым, когда еще не нарушаются свойства вала с диском как твердого тела. В противном случае предположение о сосредоточении массы в диске и об отсутствии массы вала будет незаконно, и выведенные уравнения окажутся несправедливыми.

Если фиксирован момент количества движения mv, а импульс П произволен, то задача о перераспределении локального момента количества движения W^, x в целях получения минимального значения энергии будет сводиться только к передаче его от линий тока, находящихся на малых радиусах х, к линиям тока, находящимся на больших радиусах х. Теорема 3 устанавливает, однако, что минимум кинетической энергии будет достигаться при прямой пропорциональной зависимости между My и х. Полная энергия и импульс центробежного давления будут уменьшаться и после достижения этой зависимости между (Цл и х. Очевиден, что импульс о* статического давления будет равен нулю при условии, что весь момент количества о* движения mv сосредоточен на линии тока, находящейся на х=1, а на остальных ""* линиях тока, отвечающих значениям х< 1, Wy х =0. Но достижение этого предела полной энергией, т. е. суммой кинетической энергии и энергии давления, мешает неограниченное возрастание кинетической энергии, которое наступает при дальнейшем уменьшении Wy на всех х < 1, кроме х = 1. Из теоремы 4 следует, что минимум ev достигается при зависимости Wy от х, отвечающей кубической параболе.

Анализ этого решения указывает на то, что в системах, движение которых удовлетворяет линейным уравнениям с периодическими коэффициентами, возможно неограниченное возрастание амплитуды даже при наличии дис-сипативных сил.

Условию резонанса системы без затухания (потерь) соответствует значение ее динамической жесткости, равное нулю, так как приложение конечной снл'ы вызывает неограниченное возрастание амплитуды колебаний.

Принципиальное отличие этого решения от предыдущего заключается в том, что при таком рассмотрении амплитуда всегда остается меньше статического отношения, в то время как при учете инерционности возможен резонанс, т. е. неограниченное возрастание амплитуды.

Так, например, оболочку, нагруженную на торце силой TI (so) — A cos 2ф, нельзя рассчитать по безмоментной теории. Причиной этого является неограниченное .возрастание усилий, а следовательно, и деформаций вблизи вершины s — 0 [ом. формулы (6.50) 1. При этом перемещения, определяемые по (6.52), (6.53), также оказываются бесконечными, В действительности, вблизи вершины конической оболочки всегда возникает момент-ное напряженное состояние. "

На рис. 7.28, б построен график зависимости от времени безразмерной высоты купола деформированной мембраны Zp/c. При Г-*- 278 мин имеет место неограниченное возрастание высоты выпученного профиля (вязкое разрушение).

При значении (Gr-/V)Cp
1. Теплоотдача в неограниченном пространстве. Процесс теплообмена при естественной конвекции (свободном движении) жидкости имеет весьма широкое распространение как в технике, так и в быту. Свободным называется движение жидкости вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц. Например, при соприкосновении воздуха с нагретым телом воздух нагревается, становится легче и поднимается вверх. Если же тело холоднее воздуха, тогда, наоборот, от соприкосновения с ним воздух охлаждается, становится тяжелее и опускается вниз. В этих, случаях движение воздуха возникает без внешнего побуждения в результате самого процесса теплообмена, а потому и называется еще естественной

2. Теплоотдача в ограниченном пространстве. Выше были рассмотрены условия теплообмена в неограниченном пространстве, где протекало лишь одно явление, например нагрев жидкости. В ограниченном пространстве явления нагревания и охлаждения жидкости протекают вблизи друг от друга, и разделить их невозможно; в этом случае весь процесс надо рассматривать в целом.

ных помех (рис. 3-30, а) и имеют такой же характер, как и вдоль вертикальной поверхности в неограниченном пространстве. Если же б мала, то вследствие взаимных помех внутри возникают циркуляционные контуры (рис. 3-30,6).

1. Теплоотдача в неограниченном пространстве. Процесс теплообмена при свободной конвекции (свободное движение) жидкости имеет весьма широкое распространение как в технике, так и в в быту. Свободным называется движение жидкости вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц. Например, при соприкосновении воздуха с нагретым телом воздух нагревается, становится легче и поднимается вверх. Если же тело холоднее воздуха, тогда, наоборот, от соприкосновения с ним воздух охлаждается, становится тяжелее и опускается вниз. В этих случаях движение воздуха возникает без внешнего возбуждения в результате самого процесса теплообмена. На рис. 3-24 показана типичная картина движения нагретого воздуха вдоль вертикальной трубы.

2. Теплоотдача в ограниченном пространстве. Выше были рассмотрены условия теплообмена в неограниченном пространстве, где протекало лишь одно явдение, например нагрев жидкости. В ограниченном пространстве явления нагревания и охлаждения жидкости протекают вблизи друг от друга и разделить их невозможно; в этом случае весь процесс надо рассматривать в целом. Вследст-

Наиболее простой является плоская волна, распространяющаяся в неограниченном пространстве. Для такой волны перемещения определяются равенством

Амплитудная волновая функция микрочастицы, движущейся вдоль оси х в неограниченном пространстве, имеет вид

В общем случае процесс теплоотдачи при свободной конвекции определяется системой уравнений теплопроводности, движения и неразрывности потока жидкости. При этом в уравнении движения учитывается подъемная сила, обусловленная переменной плотностью среды. Эта сила пропорциональна коэффициенту объемного расширения среды р, умноженному на разность температур в данной точке потока и в некоторой характерной точке. Если процесс протекает в неограниченном пространстве, то в качестве начальной точки отсчета температур принимается температура на большом удалении от поверхности теплообмена (температура невозмущенного потока).

В общем случае процесс теплоотдачи при свободной конвекции определяется системой уравнений энергии, движения и неразрывности потока жидкости. При этом в уравнении движения учитывается подъемная сила, обусловленная переменной плотностью среды. Эта сила пропорциональна коэффициенту объемного расширения среды р, умноженному на разность температур в данной точке потока и в некоторой характерной точке. Если процесс протекает в неограниченном пространстве, то в качестве характерной принимается температура ^о на большом удалении от поверхности теплообмена (температура невозмущенного потока).

естественная конвекция для поверхностей, расположенных в неограниченном объеме жидкости (пластина, шар, цилиндр, сфера и т. д. в неограниченном пространстве); при этом предполагается, что объем жидкости настолько велик, что свободное движение, возникающее у других тел, находящихся в данном объеме, не оказывает влияния на рассматриваемое течение;