Неопределенные коэффициенты

где А. - неопределенный множитель Лагранжа.

Исключим из числа неизвестных неопределенный множитель А. Выразив его из первого уравнения системы (3.10) и подставив во все остальные, приходим к системе (и - 1) уравнений с п неизвестными Я, , Я2, ...,Н„ вида

где Я — неопределенный множитель; б — квазистатическая координата; се — соответствующий ей коэффициент жесткости; Df/Dff — матрица Якоби, построенная на основе функции / (ф), входящей в левую часть уравнения голономной связи / (ф) = 0. Разрешая систему уравнений (6) относительно вектора ф и его второй производной в виде (1), получим выражение для матрицы G

где р2 — весовой коэффициент, х — неопределенный множитель. Задачу можно упростить, введя переменную 0 = дд — дя. Разделив первое из уравнений на /Д0, а второе — на /М0, и вычтя из первого второе, получаем

где Я, — неопределенный множитель; Q/ — обобщенные силы.

где К — неопределенный множитель Лагранжа. При каждом фиксированном значении К имеем

Согласно правилам нахождения условного минимума, коэффициенты PI и неопределенный множитель К должны быть определены из уравнений

В задачах -с неподвижными концами для определения постоянных интегрирования используем граничные условия (1.4) или (1.5). В задачах с подвижными концами для этой цели привлекаются условия трансверсальности. Неопределенный множитель А, определяется из изопериметрического условия (1.10). К достоинствам этого точного метода относится то, что оптимальный закон движения выбирается из класса функций, удовлетворяющих минимальному количеству дополнительных условий (непрерывности, граничным и изопериметрическим условиям), т. е. только дополнительным условиям первой группы. Следовательно, имеются основания полагать, что найденный таким образом закон движения сообщает поставленной задаче наиболее сильный оптимум в допустимом классе функций.

где X — неопределенный множитель Лагранжа.

Неопределенный множитель X может быть определен из изопериметрического условия (II. 5)

о где X — неопределенный множитель Лагранжа.

где dj — неопределенные коэффициенты; UJ(B) — известные функции, удовлетворяющие только геометрическим краевым условиям [в отличие от приближенного метода решения, использующего принцип возможных перемещений, где необходимо, чтобы аппроксимирующие функции У)(е) удовлетворяли как геометрическим, так и силовым краевым условиям]. В качестве таких функций могут быть взяты ортогональные полиномы, аналогичные (4.187) — (4.188) (в данном случае более простые). После подстановки выражения для и в функционал J\ (4.217) получаем

содержащей неопределенные коэффициенты d(i=\, 2, . . ., п).

В методе наименьших квадратов [Л. 118] неопределенные коэффициенты отыскиваются на основании условия минимума интеграла

где q>o(*), q>i(*), — <рп(х) — известные заданные функции; Ct, с%, • • •, сп — неизвестные неопределенные коэффициенты.

В методе моментов [Л. 117, 118] неопределенные коэффициенты находятся из условия ортогональности невязки ко всем координатным функциям
В вариационном методе [Л. 117, 122, 367, 375], используемом для решения интегральных уравнений с симметричным ядром, также отыскиваются неопределенные коэффициенты a (i=l, 2, ..., п) выражения (7-79), но при этом исходят из условия минимума функционала вида

где Я,1, Яг — неопределенные коэффициенты Лагранжа.

где AJ — неопределенные коэффициенты; <ру- (z) — известные функции, удовлетворяющие только геометрическим краевым условиям в отличие от приближенного метода решения по принципу возможных перемещений, когда необходимо, чтобы аппроксимирующие функции ф;- (г) удовлетворяли как геометрическим, так и силовым краевым условиям.

где AJ — неопределенные коэффициенты, a tj — заданные положительные константы.

начального и конечного сечений; А — значение параметра а для второго сечения (см. рис. 4.11). Когда в качестве параметра а выбирается длина дуги меридиана s, А равняется L (см. рис. 4.9). После подстановки в уравнения (4.66) аппроксимации перемещений (4.63) получим линейную систему восьми уравнений относительно неопределенных коэффициентов cln — с8п. Решение этой системы позволяет выразить неопределенные коэффициенты через обобщенные узловые перемещения {<7„}:

В дальнейшем для выбранных моделей деформирования аппроксимацию перемещений будем представлять не через неопределенные коэффициенты разложения ай, Ь^, ch [см. (5.1)1, а через перемещения рис. 5.5.