Неопределенных коэффициентов

Воспользуемся условием (1.30) для выражения реакций связей, используя неопределенные множители Лаг-ранжа.

Каждое из этих k уравнении умножим соответственно на неопределенные множители Лагранжа К\, Хз, . . . , Къ., которые могут быть функциями координат и времени:

Умножая эти уравнения соответственно на неопределенные множители Лагранжа К\, 7,2, .. . , hh и складывая затем полученные выражения, будем иметь

где К\, ..., Кт — неопределенные множители, А\-„ ..., Л,ш—• коэффициенты неголономных связей (8.1).

Общее число уравнений (8.1) и (8.3) равно s -{- т, т. е. больше числа степеней свободы на величину 2т. Однако число неизвестных, входящих в эти уравнения, также равно s -f- m (s обобщенных координат и т неопределенных множителей), и полученная система уравнений при небольшом числе уравнений связей т решается без особых затруднений, так как дополнительные неизвестные (неопределенные множители) входят в уравнения линейно.

Кроме того, сравнение уравнений (8,7) и (8.20) показывает. что члены, содержащие неопределенные множители в уравнениях Лагранжа, могут рассматриваться как обобщенные силы реакций неголономных связей.

где Ki и Я2 — неопределенные множители.

где Xi, ..., Х5 — неопределенные множители Лагранжа, которые должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений:

где Яй — неопределенные множители, Qs — обобщенные силы, Qt = MI, Qn = inilMn; QJ = 0 при / + 1, n.

где \ и [л — неопределенные множители. Необходимые условия экстремума функции f(x, у, г) выражаются системой уравнений

где X и р. — неопределенные множители. Необходимые условия экстремума функции f (х, у, г) выражаются системой уравнений

По методу неопределенных коэффициентов находим: при Яр > Яс

Частное решение уравнения (13.23) может быть найдено одним из известных способов, в частности, способом неопределенных коэффициентов. Например, пусть q = const, ищем t»4.p в следующей1 форме:

Методом неопределенных коэффициентов находим

Для нахождения частного решения системы (V.7) применяем метод неопределенных коэффициентов-^

Приводя эти дроби к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем следующие системы алгебраических уравнений для определения неопределенных коэффициентов:

Применяя далее метод неопределенных коэффициентов, находим:

- Здесь и — ~. Цифровые величины в этих уравнениях определены методом неопределенных коэффициентов. На рис. 10. 8 пунктиром показана кривая по выражению (10. 48). Как видно, она отличается от основной кривой только на небольшом участке и то весьма незначительно, а на всем остальном интервале совпадает с основной кривой.

ные А и Б по методу неопределенных коэффициентов, находим

Разлагая функцию }(>К) и пользуясь методом неопределенных коэффициентов, нетрудно прийти к выражению:

В методе коллокации ![Л. 118], использованном в (Л. 344], минимизация невязки осуществляется из условия равенства «евязки нулю в заданных точках отрезка [АВ], называемых точками коллокации. Число этих точек выбирается равным числу неизвестных заранее неопределенных коэффициентов с*. Путем решения получающейся системы линейных алгебраических уравнений находят все искомые коэффициенты.

решение которых позволяет найти все п неопределенных коэффициентов Ci.