Начальными несовершенствами

5. Болотин В. В. Теория армированной слоистой среды со случайными начальными неправильностями. — Механика полимеров, 1966, № 1, с. 11—19.

Болотин В. В., Слоистые упругие и вязкоупругие среды с малыми начальными неправильностями, Инж. журн., Мех. тверд, тела, № 3 (1966).

Болотин В. В. Теория армированной слоистой среды со случайными начальными неправильностями, Мех. полим., № 1 (1966).

Однородные линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости — основной рабочий инструмент этой теории — относятся к разделу математики, называемому задачи на собственные значения (см. приложение I). Кроме однородных линеаризованных уравнений, служащих для определения точек бифуркации, в теории упругой устойчивости широко применяют неоднородные линеаризованные уравнения для приближенного описания поведения систем с начальными неправильностями при малых, но конечных значениях отклонений. Такие уравнения достаточно полно характеризуют поведение систем вблизи точек бифуркаций первого типа (см., например, § 18).

Более того, возможны случаи, когда пренебрежение начальными перемещениями, связанными с изгибом системы в докрити-ческом состоянии, приводит к недопустимо большим погрешностям определения критической нагрузки. Например, если в задаче устойчивости сжатой в осевом направлении тонкой цилиндрической оболочки с малыми начальными неправильностями формы (см. гл. 6) не учитывать начальное напряженно-деформированное состояние, вызванное докритическим изгибом оболочки, то можно получить качественно неверный результат. Но тонкостенные элементы правильно спроектированных силовых конструкций в докритическом состоянии обычно работают без заметных изгибов. Изгиб таких элементов — это чаще всего результат потери устойчивости, вызывающий резкий рост напряжений и перемещений в конструкции и приводящий к частичной или полной потере ее работоспособности. Для расчета на устойчивость таких тонкостенных элементов допущение о пренебрежении изменением начальной геометрии вполне оправдано.

Условие равновесия в проекции на ось у элемента стержня с начальными неправильностями (рис. 3.30, б) приводит к уравнению

где v = v (х) — • малые но конечные дополнительные прогибы. Если задача продольного нагружения стержня статически неопределима, то необходимо учитывать взаимное влияние N (х) и v (х). Но если задача продольного нагружения стержня статически определима, то можно считать, что N0 = PN0 (х) не зависят от поперечных перемещений. Тогда поведение стержня с начальными неправильностями будет описываться неоднородным линеаризованным уравнением

Исследуем подробнее этот наиболее интересный в практическом отношении случай, когда поведение стержня с начальными неправильностями может быть описано уравнением (3.80). Решение этого уравнения будем строить в виде разложения по собственным функциям однородного уравнения (3.76):

вильностей — факторы трудноконтролируемые. Исследование влияния таких начальных неправильностей произвольной формы на критическую нагрузку цилиндрической оболочки, сжатой в осевом направлении, становится практически неразрешимой проблемой. Причем для цилиндрической оболочки с начальными неправильностями неосесимметричной формы, кроме точек бифуркации, которые можно обнаружить с помощью линеаризованных уравнений типа (6.73), имеется серия различных предельных критических точек. Теоретическое их определение возможно только с позиций нелинейной теории.

В данной работе рассматриваются вычислительные аспекты; методики численного анализа поведения произвольных тонкостенных оболочек вращения с большим показателем изменяемости геометрии (гофрированные, сильфонные, оболочки с начальными' неправильностями и т. д.), подверженных осесимметричному силовому и температурному нагружению при конечных смещениях.

Предлагается методика численного анализа поведения произвольных тонкостенных оболочек вращения с большим показателем изменяемости геометрии (гофрированные, сильфонные, оболочки с начальными неправильностями и т. д.), подвершенных осесимметричному силовому и температурному нагружению при конечных смещениях. Явления ползучести и пластичности, возникающие при этом, моделируются системой дополнительных сил в уравнениях типа Рейснера. Для описания начальной и последующих геометрий оболочек и уравнений состояния используются сплайновые функции. Решение соответствующих нелинейных краевых задач теории оболочек осуществляется методом факторизации (разностной прогонки) для последовательных приближений.

Поведение значительно более сложных упругих систем аналогично поведению рассмотренных простейших систем с начальными несовершенствами. Так, если предельно идеализированная система без начальных несовершенств имеет критическую точку бифуркации первого типа, то поведение реальной системы с начальными несовершенствами вблизи этой точки бифуркации аналогично поведению первой из рассмотренных простейших систем (см. рис. 1.12). Если предельно идеализированная система без начальных несовершенств имеет критическую точку бифуркации второго типа, то поведение реальной системы вблизи этой точки бифуркации аналогично поведению второй из рассмотренных простейших систем (рис. 1.13).

Первый подход связан с исследованием деформирования в условиях ползучести оболочек с начальными несовершенствами. При этом развитие во времени основного (моментного) состояния может привести к их выпучиванию [5, 13, 40, 60, 76, 86, 87, 93]. Начальные прогибы могут задаваться как осесимметричными, так и неосесимметричньши (для замкнутых цилиндрических оболочек). Учет в исходных соотношениях геометрической и (или) физической нелинейности приводит к тому, что при достижении некоторого критического времени ^Кр прогиб (его скорость) неограниченно возрастает, что и принимается в качестве критерия потери устойчивости. Следовательно, определение tK-p формально аналогично определению верхней критической нагрузки в задачах об устойчивости «в большом» гибких упругих оболочек. Такие задачи предлагается относить к задачам о выпучивании [51].

задачи; матрицы-столбцы Н, Z учитывают влияние температуры. Слагаемые, содержащие конечные значения функции w, ф, отражают геометрическую нелинейность. Полученное вариационное уравнение технической теории термоползучести гибких неоднородных анизотропных оболочек переменной толщины с начальными несовершенствами (11.20) является уравнением смешанного типа, так как в него входят независимо варьируемые

критического давления, обусловленное начальными несовершенствами, составило в первом случае 52%, а во втором - 31%. Следует отметить, что теоретические решения для оболочек с начальными несовершенствами

7.7.3. Поведение механических систем с начальными несовершенствами ........

Анализ выпучивания и устойчивости идеальных упругопластических систем не является общим потому, что реальные элементы конструкций имеют различные несовершенства. Неустойчивость реальных конструкций и их элементов наступает в предельных точках точно так же, как и для идеальных систем с устойчивым пос-лебифуркационным выпучиванием. В связи с этим все начальные несовершенства геометрической формы и внецентренного приложения нагрузок принимают за возмущающие факторы с наложенными на них ограничениями. Процесс выпучивания системы с начальными несовершенствами рассматривают как возмущенный процесс, с помощью которого анализируют устойчивость идеализированной конструкции. На рис. 7.5.2 приведены два случая сжатия стержня эксцентрично приложенной силой Р. Если эксцентриситет 5 мал и не превосходит некоторого предельного значения 5», то стержень теряет устойчивость в предельной точке. Если 5>5«, то задачи устойчивости не возникает.

7.7.3. ПОВЕДЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НАЧАЛЬНЫМИ НЕСОВЕРШЕНСТВАМИ

Зависимости безразмерных параметров, представляющих собой отношения критических значений осевого давления для оболочки с начальными несовершенствами (р) к таковому (р0 ) для идеальной оболочки с тем же углом армирования, от амплитуды отклонения образующей при Ш» 3 представлены на-рис. 3, 4.

В работе отмечается, что даже для одного варианта схемы армирования (оболочки 1-6) разброс критических нагрузок составляет около 40% (40 • Ю3—67 • 103Н). Это объясняется отличием свойств материалов после изготовления, разной толщиной оболочек, наличием остаточных напряжений, зависящих от натяжения при намотке и режима термообработки, начальными несовершенствами.

Нижние значения коэффициентов устойчивости k оказываются на 25 ... 50% меньше верхних (рис. 7), вычисленных по формуле (15) для испытанных стеклопластиковых оболочек. Отмечается снижение значений k с ростом параметра Я/6, что вызвано большей чувствительностью к несовершенствам у оболочек с меньшей относительной толщиной. Установление аналитической связи k = f (Я/6) пока представляется затруднительным, так как отсутствуют статистические данные для оболочек с различными начальными несовершенствами, геометрией и соотношениями упругих параметров материалов. Следует, однако, заметить, что нижние уровни экспериментальных значений стеклопластиковых оболочек практически совпадают с качественно изготовленными металлическими (см. рис. 7).

Гипотеза об однородном напряженном исходном состоянии (II) оболочки формально означает, что выполняются только соотношения (2.103). Эта гипотеза широко используется при решении задач устойчивости оболочек с начальными несовершенствами формы поверхности приведения. Поскольку исходное деформированное состояние оболочки полностью отождествляется с начальными несовершенствами ее геометрии, то в этом смысле гипотеза (II) может рассматриваться как обобщение гипотезы (I) на случай геометрически несовершенных оболочек.

69. Лукошевичюс Р. С., Рикардс Р. Б., Тетере Г. А. Вероятностный анализ устойчивости и минимизации массы цилиндрических оболочек из композитного материала со случайными начальными несовершенствами // Механика полимеров. — 1977. — № 1. — С. 80—89.