Наибольшего предельного

Метод моментов является далеко не лучшим методом оценки неизвестных параметров функций распределения, так как он не позволяет извлекать из рядов наблюдений всей содержащейся в них информации. Так как ряды прошлых наблюдений обычно невелики, то весьма важно использовать всю содержащуюся в них информацию. .Это достигается применением более эффективного метода оценки параметров функций .распределения, каким является метод наибольшего правдоподобия. Для гидрологических расчетов этот метод впервые применили С. Н. Крицкий и М. Ф. Менкель. Они, а также Е. Г. Блохинов [Л. 6] выполнили все необходимые методические проработки по этому методу применительно к теоретическим кривым распределения С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля. Проработки по применению метода наибольшего правдоподобия для построения функций перехода, управляющих марковским процессом, выполнены Н. А. Картвелишвили [Л. 38].

Рассмотрим метод наибольшего правдоподобия на примере логнормального загона распределения (4-5). Обозначим через р (х) плотность распределения вероятностей, а через х\, х2, ..., хп—наблюденные значения х (расходы реки). Помимо х, функция р зависит от неизвестных параметров распределения а, т и а, т. е. р(х, 0, т, а).

Очевидно, в вычислительном отношении метод моментов намного проще метода наибольшего правдоподобия. Но так как такие вычисления для каждой реки нужно выполнять лишь один раз, то большая трудоемкость метода наибольшего правдоподобия не имеет существенного значения.

Применительно к кривым С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля уравнения для оценки параметров распределения по методу наибольшего правдоподобия, а также приемы решения этих уравнений даны в [Л. 6].

6. Б л о х и н о в Е. Г., Оценка параметров случайных колебаний речного стока методом наибольшего правдоподобия, Труды Гидропроекта, сб. 12, 1964.

Метод наибольшего правдоподобия можно рассматривать как частный случай метода минимального риска. Правило решения принимается следующим:

В большинстве практических случаев используется условие (5.13), и тогда для метода наибольшего правдоподобия следует считать

Расчеты дают следующие значения приближений: x0 ^2) = 6,85; *0 ^3) = 7,36; х0 (4) = 7,43; х0 ,5. = 7,43. По методу наибольшего правдоподобия граничное значение находим из условия (5.45), что дает хо = 8,14.

6 Метод наибольшего правдоподобия 8,14 0,0524 0,0098 0,249

Наиболее просто обобщаются на многомерные системы методы минимального риска и его частные, случаи (метод минимального числа ошибочных решений, метод наибольшего правдоподобия). В случаях, когда в методе статистического решения требуется определение границ области принятия решения, расчетная сторона задачи существенно осложняется (методы Неймана—Пирсона и минимакса).

Метод максимального (наибольшего) правдоподобия был предложен английским статистиком Фишером, а в частных вариантах использовался еще Гауссом. Ряд свойств оценок максимального правдоподобия определяет преимущества этого метода при решении базовой задачи точечного оценивания. Сильная состоятельность, асимптотическая несмещенность, асимптотическая нормальность, асимптотическая эффективность оценок максимального правдоподобия обеспечивает их преимущества в задачах накопления информации, при работе с большими массивами (базами данных). Эффективность второго порядка выделяет этот метод среди других асимптотически эффективных. Связь оценок максимального правдоподобия с достаточными статистиками делает этот метод особенно привлекательным при оценивании параметров распределений из экспоненциального семейства. Инвариантность оценивания по методу максимального правдоподобия обеспечивает успешное применение этого метода при оценивании функций от параметров распределений (специальных показателей надежности, многоуровневых моделей оценивания).

При назначении допусков часто исходят из табличных значений возможных зазоров или натягов в соединении, которые могут получиться при сочетании предельных размеров сопрягаемых компонентов. В этих случаях обнаруживаются противоречия, одним из разительных примеров которых может явиться тугая посадка, превращающаяся в подвижную посадку при сочетании наибольшего предельного размера отверстия с наименьшим предельным размером вала. Практическая оценка таких противоречий возможна только путём применения основных принципов теории вероятностей в области взаимозаменяемости. Этот метод, базирующийся на определении параметров рассеивания размеров сопрягаемых компонентов и на учёте вероятности различных значений зазоров и натягов, широко применяется при разрешении всех вопросов, относящихся к взаимозаменяемости. С помощью этого же метода разрешается вопрос о допустимой погрешности отдельных звеньев механизма в зависимости от заданной, предельной погрешности всего механизма, о вероятностях различных значений зазоров и натягов в соединении, о вероятностях случаев нарушения взаимозаменяемости в зависимости от увеличения допусков отдельных компонентов, о вероятностях получения брака при выбранном технологическом процессе, о влиянии погрешностей измерений на отклонения размеров контролируемых объектов и т. д.

Отклонения калибров отсчитываются от соответствующих предельных размеров изделий. Так, для валов отклонения проходных калибров и контркалибров к ним (Р-ПР, П-ПР, К-РП, К-И и К-П) отсчитываются от наибольшего предельного размера вала, а отклонения непроходных калибров и контркалибров к ним (Р-НЕ, П-НЕ и К-НЕ) — от наименьшего предельного размера вала. Соответственно для отверстий отклонения проходных калибров (Р-ПР и П-ПР) отсчитываются от наименьшего предельного размера отверстия, а отклонения непроходных калибров (НЕ и П-НЕ) — от наибольшего предельного размера отверстия.

Отклонения наружного диаметра резьбовых калибров отсчитываются от наибольшего предельного размера наружного диаметра резьбы болта.

пускается превышать на величину, соответствующую отклонению действительного размера прилегающего рассматриваемого и (или) базового элемента данной детали от проходного предела (наибольшего предельного размера вала или наименьшего предельного размера отверстия).

2. Для внешних поверхностей округление производится увеличением наибольшего предельного размера; для внутренних поверхностей — уменьшением наименьшего предельного размера.

Расчетные размеры для внешних поверхностей определяют исходи из наибольшего предельного размера по чертежу; ' . . '

Наименьшие предельные размеры определяют вычитанием допуска из наибольшего предельного

калибры Р-ПР (ПР), П-ПР и контркалибры К-РП, К-И и К-П для валов — от наибольшего предельного размера вала;

калибры Р-НЕ (НЕ) и П-НЕ для отверстий — от наибольшего предельного размера отверстия.

У проходных рабочих калибров и контркалибров к ним отклонения отсчитываются от наибольшего предельного размера резьбы болтов и наименьшего предельного размера резьбы гаек.

У непроходных рабочих калибров и контркалибров к ним отклонения отсчитываются от наименьшего предельного размера резьбы болтов и наибольшего предельного размера резьбы гаек.