Наклонной плоскостью

Наклонная плоскость называется самотормозящей, если поставленное на нее тело не скользит под действием силы тяжести.

Наклонная плоскость как одно из средств получения выигрыша в силе при перемещении тяжестей широко используется в технике. Например, любой винт можно рассматривать как наклонную плоскость, намотанную на цилиндр. В реальных условиях при перемещении грузов по наклонной плоскости необходимо учитывать трение (см. § 1.17).

После этого свяжем с системой отсчета «наклонная плоскость> систему координат х, у, г. Вообще говоря, систему координат можно ориентировать как угодно, однако во многих случаях выбор направления осей диктуется характером движения. В нашем случае, например, заранее известно направление движения бруска, поэтому наиболее целесообразно оси координат расположить так, чтобы одна из них совпадала с направлением движения. Тогда задача сведется к решению только одного уравнения (2.15). Итак, выберем ось х, как показано на рис. 2.2, обязательно указав при этом ее положительное направление (стрелкой).

• 2.2. В установке (рис. 2.9) наклонная плоскость составляет угол а = 30° с горизонтом. Отношение масс тел Г=т1/т2 = 2/3. Коэффициент трения между телом т2 и плоскостью fe = 0,10. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела ть если система пришла в движение из состояния покоя.

Если угол подъема наклонной плоскости (см. рис. 123) а<р, то движение груза под действием собственной силы тяжести невозможно, т. е. тело будет в покое, и такая наклонная плоскость называется самотормозящейся; если а=р, то одинаково возможны как покой, так и равномерное движение тела. Когда ос>р, то Р>Т, что вызовет ускоренное движение тела вниз, и такая наклонная плоскость называется несамотормозящейся. В этом случае для равномерного движения тела вниз необходимо приложить к нему притормаживающую силу, направленную вверх по плоскости.

видно, что при К=р, Р=0, а при К<.р сила Р будет отрицательной, т. е. направленной в обратную сторону (вниз по наклонной плоскости на рис. 403, о). В этом случае движение тела вниз под действием силы тяжести не будет и наклонная плоскость будет самотормозящая. Следовательно, условие самоторможения как наклонной плоскости, так и винтовой пары будет

Если а < р0, то движение груза под действием собственной силы тяжести невозможно, т. е. тело будет в покое, и такая наклонная плоскость называется самотормозящейся. Когда а > р0, то С2 становится больше Гпр, что вызовет ускоренное движение тела вниз, и такая наклонная плоскость называется несамотормозящейся. В этом случае для равномерного движения тела вниз необходимо приложить к нему притормаживающую силу, направленную вверх по плоскости.

видно, что при я> = р Р — О, а при ч) < р сила Р будет отрицательной, т. е. направленной в обратную сторону (вниз по наклонной плоскости на рис. 3.23, а). В этом случае движения тела вниз под действием силы тяжести не будет и наклонная плоскость будет самотормозящей. Следовательно, условие самоторможения как на наклонной плоскости, так и в винтовой паре будет

Решение. Первый шаг. Внешней связью по отношению к грузу служит наклонная плоскость, со стороны которой на груз действуют две силы: нормальная реакция /?„ и сила трения FTp (рис. 1.74, б).

Из формулы (2.6) для случая опускания груза видно, что при Y = р Ft = Fa, а при Y < Р сила F, будет отрицательной, т. е. направленной в обратную сторону (вниз по наклонной плоскости на рис. 3.21, б). В этом случае движения тела вниз под действием силы тяжести не будет и наклонная плоскость будет самотормозящей. Следовательно, условие самоторможения как на наклонной плоскости, так и в винтовой паре имеет вид

Если угол, который наклонная плоскость составляет с горизонтом, равен углу трения, то тело, лежащее на наклонной плоскости, будет под действием собственной силы тяжести либо равномерно скользить вниз, либо находиться в некое.

товых механизмов определяется приближен- лез"°[,0х ^"ншмов "т°" но по формулам для коэффициента полезного действия наклонной плоскости. При этом средняя линия резьбы винта заменяется условно наклонной плоскостью, а гайка заменяется условно ползуном 1 (рис. 14.8). Вывод формул тогда может быть сделай следующим образом. Пусть ползун /, находящийся под действием постоянной вертикальной силы F0 производственных сопротивлений и под действием постоянной горизонтальной движущей силы F, переместился из положения А в положение А!. Из точки Аг опустим на направление силы F перпен-

Пусть, например, требуется определить реакции связей шара, удерживаемого нитью АВ на наклонной плоскости с углом подъема а (рис. 1.22, а). Нить образует с наклонной плоскостью угол р.

Наклонной плоскостью пользуются как простейшим подъемным устройством, дающим при подъеме грузов выигрыш в силе за счет проигрыша в пути. Действительно, без учета потерь на трение работа А= Qs=Gh (см. рис. 167), откуда

Рассечем параллелепипед наклонной плоскостью, нормаль к которой составляет угол ос с осью z (рис. 2.18, в). На наклонной грани

В приведенных примерах анализ движения был одинаково прост .и нагляден как в неинерциальной системе координат, так и в инерциальной. Это объясняется тем, что примеры были выбраны именно такими с целью иллюстрации соотношения между инер-циальными и неинерциальными системами. Однако очень часто решение задачи в неинерциальной системе оказывается значительно более простым, чем в инерциальной. Например, анализ скатывания цилиндра с наклонной плоскости, которая находится в равноускоренном движении в произвольном направлении, значительно проще в неинерциальной системе координат, связанной с наклонной плоскостью, чем в инерциальной системе, в которой плоскость движется ускоренно.

В рассмотренных выше примерах вращения тела вокруг закрепленной оси или плоского движения ось вращения сохраняла неизменным свое направление в пространстве. Это обеспечивалось определенными внешними условиями. При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении 'подшипниками. При скатывании цилиндра направление перемещения оси задавалось наклонной плоскостью. Однако после того, как цилиндр скатился с наклонной плоскости, он продолжал бы вращаться вокруг той же оси, и хотя ось вместе с центром тяжести двигалась бы уже не прямолинейно, а по параболе, но она сохраняла бы неизменным свое направление в пространстве. Такие оси вращения, которые в отсутствие каких-либо связей могут сохранять неизменным свое направление в пространстве, называются свободными осями тела. Возможность существования таких свободных осей и условия, которыми они определяются, мы выясним на простейшем примере.

Пример .5.1. Определить при каком значении угла а, образованного шероховатой наклонной плоскостью с горизонтом, находящийся на ней груз силы тяжести О начнет скользить, Коэффициент трения скольжения равен / (рис, 1,74, а).

Наклонной плоскостью с переменным углом наклона к горизонту пользуются для экспериментального определения угла трения <р и коэффициента трения / (рис. 6.6).

4 . Коэффициент полезного действия вин- нию коэффициента потовых механизмов определяется приближен- лезн°[,0х ыеейханизямовв' нто" но по формулам для коэффициента полезного действия наклонной плоскости. При этом средняя линия резьбы винта заменяется условно наклонной плоскостью, а гайка заменяется условно ползуном / (рис. 14.8). Вывод формул тогда может быть сделан следующим образом. Пусть ползун /, находящийся под действием постоянной вертикальной силы F0 производственных сопротивлений и под действием постоянной горизонтальной движущей силы F, переместился из положения А в положение AI. Из точки AI опустим на направление силы F перпен-

Заданы: сила производственных сопротивлений Q (допустим, что она направлена по вертикали), угол а, образуемый наклонной плоскостью с горизонтом, и угол трения р. Требуется определить движущую силу Р, которую нужно для этого приложить к телу, и реакцию R наклонной плоскости. Зададимся углом р\ определяющим направление силы Р. Реакция R при перемещении тела вверх отклоняется от нормали на угол трения в сторону, противополож-

Для установления зависимостей, позволяющих определить нормальное и касательное напряжения в произвольной площадке, применяя метод сечений, рассечем элемент наклонной плоскостью (рис. 106, а). На рис. 106,6 отдельно изображена бесконечно малая трехгранная призма, отсеченная от выделенного элемента. На ее наклонной грани возникают напряжения от,, и та, подлежащие определению.