Начальное ускорение

Иными словами, если системе с n = k степенями свободы, находящейся в положении равновесия, сообщить начальное возмущение, не выводящее ее из 6-окрестности начала ') <7,(0) =

Рис. 18.2. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании фазового пространства. «Параллелепипед» с ребрами 26i и 26, (6-параллелешшед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность 5 и j при t = 0 — отмечено крестиком). «Параллелепипед» с ребрами 2ei и 2вг (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения: 1 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория — замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда); 2—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит за пределы е-параллелепипеда); 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Выберем какое-либо положительное е <С А и положим, что обобщенные перемещения и скорости находятся внутри е-окрестности начала координат: 0. Так как в начале координат Е = О, то можно указать такую 6-окрестность начала, в которой -Е < ?,. Следовательно, если системе, находящейся в положении равновесия, сообщить начальное возмущение, не выводящее ее из б-окрестности: 0«-<б, ^-<б (г==1, ..., и), то начальное значение Е0 ее полной энергии будет удовлетворять условию ЕО < ?*• При дальнейшем движении консервативной системы ее полная энергия Е не изменяется, так что во все время движения Е < ?*. Поэтому точка, изображающая в пространстве со-•стояний движение системы, никогда не достигнет границы е-окрестности, т. е. все время будет находиться внутри нее.

В первом случае (рис. 18.91, а) пара корней А! и Aj, меньших по модулю, приближается по мнимой оси к началу координат, при г = г" обращается в нуль и затем по вещественной оси удаляется от начала (рис. 18.92, а). Значит, при нагрузке г = г* происходит статическая потеря устойчивости первоначального равновесия системы. Начальное возмущение этого равновесия вблизи границы устойчивости при г js r* приводит к апериодическому движению системы, в процессе которого она неограниченно удаляется от исходного положения (рис. 18.92,6). Напомним, что указанное движение корней и соответствующее поведение системы характерны для случая консервативной нагрузки.

Если сила Р достаточно мала, то вертикальная форма равновесия стержня устойчива. Следовательно, при такой нагрузке стержень, получив начальное возмущение,, будет совершать около невозмущенного равновесия

------начальное (возмущение) 219, 312, 317

Пусть маятник получил некоторое начальное возмущение. Таким начальным возмущением может служить случайный толчок, сотрясение, поворот оси подвеса, любое другое обстоятельство, сопутствующее работе реальной системы. Для нас важно лишь, что в результате этого возмущения маятник начал качаться.

в точку б начальное возмущение, в результате которого скорость шарика опять стала

или начальную скорость. Если начальное возмущение достаточно мало, то в результате его действия механизм будет совершать около положения равновесия периодическое движение с определенной частотой. Это движение можно определить, сообщив обобщенной координате а0 малое приращение е и составив в форме Лагранжа уравнение малых колебаний механизма, в процессе которых а — а0 + е, где всегда е<е0:

Так как начальное возмущение состояло в том, что

Применим этод метод для анализа устойчивости периодических режимов движения нашего вибратора, прыгающего по ступенькам. Напомним, что законы его периодического движения мы искали в форме уравнений (7.7). Пусть после одного из очередных ударов в это периодическое движение было внесено начальное возмущение, в результате чего координата и скорость вибратора оказались отличными от их расчетных значений. В уравнениях (7.7) это начальное возмущение найдет отражение в том, что постоянные интегрирования d и С2 получат некоторые малые приращения, которые мы обозначим е)0 и е20. Соответствующее малое приращение 60 получит также и фаза удара ф. В результате для первого интервала возмущенного движения вибратора получим следующие уравнения:

Рис. 4.18. а) Представим себе положительный заряд q, находящийся при <=0 в начале координат и не имеющий начальной скорости. На этот заряд действуют взаимно перпендикулярные поля: электрическое Е и магнитное В. (Система отсчета S.) б) Начальное ускорение этого заряда q равно a=i;F,/M.

Определить, какое начальное ускорение а„ по отношению к жидкости приобретет тело, если его освободить, при условии, что:

Определить, какое начальное ускорение а0 по отношению к жидкости приобретет тело, если его освободить, при следующих условиях:

Если начальная скорость равна нулю, то z (0)=0 и для малых t можно положить, что z (t)=kt, где k = i — u^(0)/f-\- {[1 — — ii'0 (0)Iff — 1 }'/*; и'й (0) — начальное ускорение.

QI — начальное ускорение на каждой ступени реостата, равное

Приступим к расчету переходного процесса, приняв, что начальное ускорение подъемных сосудов равно полученной из замеров величине аг = 0,65 м/сек-.

Начальное ускорение на каж-Рис. 1. 10. К определению теку- дой характеристике найдем, по-

jK — начальное ускорение клапанной пластины в м/сек2 в момент её отрыва от седла клапана. Величина j'K зависит от ряда конструктивных и эксплоатационных особенностей. На основании некоторых экспериментальных данных [6, 7, 22] она численно приближённо может приниматься: для всасывающих клапанов равной л, для нагнетательных — 2/z, где п — число оборотов компрессора в минуту.

Величина второго (обратного) размаха муфты будет тем больше» чем больше начальное ускорение второго размаха. Наименьшая величина второго размаха получится при том значении параметра Р, при котором сила трения оказывается как раз достаточною, чтобы обратить в нуль начальное ускорение второго размаха. Обозначим это значение р через Pi-

Начальное ускорение будет при t = 0 и равно

Чем больше значение п, тем процесс торможения проходит более плавно. При п = 2 график е = / (t) изображается наклонной прямой- При п > 2 кривая изменения ускорений представляет собой выпуклую параболу, которая при п = оо стремится к прямой, параллельной оси t (е — const). Начальное ускорение находится из уравнения (477) при t = 0 и равно