Напряжений уравнение

нием затруднений, возникающих из-за многочисленности равноправных функциональных формулировок. В данной работе мы избрали метод, который состоит в использовании с самого начала зависимости в виде полинома от тензора напряжений (уравнения (56)), причем эта зависимость записывается через инварианты. Очевидно, различные слагаемые тензорного полинома можно преобразовать отдельно; обозначая линейный член через /1, запишем, что

Несмотря на большую гибкость данного критерия, определяемую наличием дополнительных членов третьей степени по напряжениям, требование инвариантности его структуры приводит к большим и неоправданным осложнениям в применениях. В частности, имеется два параметра (е\ и f), характеризующие влияние одной и той же величины 010203, следовательно, один из этих параметров в действительности не нужен; в то же время имеет место некоторая неопределенность, состоящая в том, что один и тот же параметр (е\) характеризует влияние двух различных комбинаций напряжений (crj<72 и сфт3) и т. д. Как будет показано в разд. II, Г, 2, влияние на разрушение членов третьей и более высоких степеней по напряжениям можно учесть непосредственно, используя полином соответствующей степени от напряжений (уравнения (5)).

Большой вклад в исследование явления разрушения анизотропных сред внесли работы Ашкенази [1, 2] и Ашкенази и Пек-кера [3]. Наибольшее различие между тензорно-полиномиальнои формулировкой (5) и критерием, предложенным Ашкенази [2], связано с определением параметров, характеризующих прочность материала. В уравнениях (5) в качестве таких параметров выбраны тензоры поверхности прочности Ft, F^ и т. д., образующие скалярные произведения с тензором напряжений ац и имеющие размерность соответственно [напряжение]-1, [напряжение]-2 и т. д. В формулировке Ашкенази параметры прочности материала определяются (в сокращенных обозначениях) как

Уравнения равновесия в координатах, совпадающих с траекториями главных напряжений (уравнения Лямэ—Максвелла), записываются в виде

Уравнения (7.22)-(7.25), (7.26)-(7.28) позволяют [2] получать не только максимальные напряжения сттах и деформации етах с использованием уравнений (7.20) и (7.21), но и построить поля напряжений crmaxp и деформаций emax p в точке с координатой р зоны концентрации, если

Значение величины предельной допустимой амплитуды напряжений [crj* для резьбовых соединений при малоцикловом нагру-жении определяется по уравнениям (10.13)—(10.20) для стадии образования трещин в основании наиболее нагруженных витков резьбы, не приводящих к снижению статической прочности.

Так как в этом примере Kt и R — постоянные величины, уравнения (6.1) и (6.2) не противоречат друг другу, если ]/а пропорционален 1/ав. Описание типичного поведения материала получаем при выборе следующего эмпирического выражения для коэффициента ослабления концентрации напряжений:

М. Муни [25] использует для вывода уравнений, описывающих распределение сдвиговых и нормальных напряжений при конечном простом сдвиге, теорию высокоэластичности, которую распространяет на упруго-вязкие материалы с помощью гипотезы Максвелла о релаксации напряжений. Уравнения М. Муни содержат две материальные константы: модуль сдвига G и модуль высоко-

Формальная теория вязко-упругого поведения была предложена в работе Д. Олдройда [26], посвященной изложению инвариантного описания движения сплошной среды при наличии конечных упругих деформаций. Им было показано, что инвариантная процедура формальных обобщений простых реологических зависимостей на случай произвольных деформаций упруго-вязкой сплошной среды является отнюдь не однозначной. В качестве простого примера справедливости этого положения им была рассмотрена простая задача о движении жидкости с одним временем релаксации и одним временем запаздывания в зазоре коаксиально-ци-линдрического вискозиметра при различных обобщениях реологического уравнения, построенного для случая малых деформаций. Оказалось, что в зависимости от обобщения этой модели эффект нормальных напряжений существенно изменяется.

Т. В. Де-Уитт [14], рассматривая инвариантное обобщение реологических уравнений Максвелла на случай конечных деформаций, предложил уравнения, предсказывающие появление нормальных напряжений. Уравнения правильно описывают распре-деление нормальных напряжений в приборе с коаксиальными цилиндрами, частично верно — в приборах типа конус-плоскость, а для двухдисковых приборов предсказания теории совершенно не согласуются с экспериментом. Следует отметить, что функция течения согласно уравнениям Т. В. Де-Уитта проходит через максимум и стремится к нулю при у -> оо, что не подтверждается экспериментально ни для одного из известных материалов.

Р. С. Ривлиным [34] были предложены общие уравнения реологического состояния для упруго-вязкой жидкости при наличии зависимости напряжений от скоростей и ускорений деформаций. Из общих теорем тензорного анализа известно, что при наличии такого рода зависимостей тензор напряжений будет квадратичной функцией как от тензора скоростей деформаций, так и от тензора ускорений деформаций со скалярными коэффициентами, зависящими от инвариантов указанных кинематических тензоров. Совершенно очевидно, что наличие квадратичных членов в тензорных уравнениях реологического состояния всегда приводит к появлению нормальных напряжений для случая течения жидкости в условиях простого сдвига. Однако наличие большого числа

3. Уравнения для скоростей при условии текучести Мизеса. Рассмотрим теперь систему уравнений (51.3) для скоростей, предполагая, как обычно, напряженное состояние известным; тогда система (51.3) — линейная с переменными коэффициентами. В области гиперболичности уравнений для напряжений уравнения для скоростей будут также гиперболическими, причем характеристики обеих систем совпадают.

что различие прочностных свойств металлов приводят к тому, что при использовании уравнений (2.108...2.110) кривые долговечности различных сталей должны пересекаться при определенной амплитуде деформаций (еа « 0,75%) и долговечности (N = 10000... 15000). Это позволяет, с одной стороны упрощать построения кривых усталости, а с другой - производить оценку целесообразности применения сталей с теми или иными механическими характеристиками. Естественно, что стали с высокими прочностными и более низкими пластическими свойствами теряют свои преимущества при работе в области высоких амплитуд деформации (при высоких уровнях концентрации напряжений). Уравнение Коффина-Мэнсона отражает кинетику накопления усталостной повреждаемости металла при симметричном (знакопеременном) жестком нагружении. В условиях мягкого симметричного (знакопеременного) нагружения кинетическое уравнение повреждаемости подобно по структуре уравнению при жестком нагружении:

Л/сдг — момент, возникающий из-за температурных напряжений [уравнение (10)]

N — нормальная нагрузка; индексы указывают тип и направление •^сдг — равнодействующие термических напряжений [уравнение (10)] Nf — число волокон, проходящих через торец слоя

В предыдущих параграфах настоящего раздела обсуждалась общая теория пластичности, в которой связь между напряжениями и деформациями имеет достаточно общую форму, когда > (см. соотношение (7)) при выходе за предел упругости учиты- ' ваются как упругая, так и пластическая части приращения де- ! формации. Так как, по определению, приращение упругой части деформации связано с пропорциональным приращением напряжений (уравнение (8)), то в итоге связь между полными напряжениями и деформациями (определяемая, например, уравнениями (22)) будет такой, что напряжения за пределом упругости будут изменяться с изменением деформаций (см. рис. 1). Такие материалы известны под названием упругопластических материалов с упрочнением.

где /Сс — коэффициент интенсивности напряжений, а — коэффициент формы, асп — критическое нормальное напряжение и а — длина трещины. При экспериментальном определении Кс (рис. 1) это уравнение используют в том виде, в каком оно приведено выше, а при расчетах его преобразуют таким образом, чтобы можно было определить допустимую величину напряжений.

При известных коэффициентах концентрации напряжений уравнение (6), определяющее условия разрушения, может быть записано следующим образом:

Уравнение (1) для условных напряжений и деформаций оказывается справедливым только в области малых деформаций (е < 10ет). Для истинных напряжений уравнение (1) хорошо согласуется с результатами эксперимента в пределах от деформации предела текучести до, разрушающей деформации еь = In —---— (с учетом

Предложения [14, 15] по методу расчета применительно к высокотемпературным атомным энергетическим установкам являются развитием расчета при отсутствии ползучести, и между ними существует определенная преемственность. В расчете размахов местных неупругих деформаций используется соотношение типа Нейбера, кривая циклического деформирования формируется на основе характеристик сопротивления деформированию, зависящих от изменения температур и длительности полуцикла. При формировании циклов рассматривается процесс изменения приведенных местных деформаций от эксплуатационных нагрузок (теория наибольших касательных напряжений). Уравнение кривой усталости включает упругую и пластическую предельные деформации, зависящие от температуры и длительности нагружения. Эти деформации определяются через базовые характеристики механических свойств при кратковременном и длительном нагружении.

Характеристики этого уравнения совпадают с направлением линий скольжения Людерса — Чернова, которые определяют направление максимальных касательных напряжений; уравнение этих характеристик имеет вид

6-1. Уравнение электрических напряжений проводника

ловой процесс, -необходимо 'иметь систему дь^^ .... алышх уравнений, описывающую электрический процесс. Если основным уравнением передачи тепла в однородной среде является уравнение теплопроводности, то основное уравнение передачи электрической энергии будем именовать уравнением электрических напряжений. Уравнение электрических напряжений аналогично' уравнению теплопроводности и устанавливает пространственно-временное изменение напряжения в электропроводной среде. Уравнение электрических напряжений фактически является уравнением энергии электрического процесса.