Относительно параметра

момент инерции относительно данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс момент инерции относительно данной оси, вычисленный в предположении, что вся масса тела сосредоточена в центре масс. Этот результат очень полезен при рассмотрении вращающихся тел (рис. 8.18, 8.19). Так как MR2 представляет собой момент инерции обруча (рис. 8.19, а) относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к его плоскости, то 2MR2 будет равен моменту инерции обруча относительно параллельной оси, проходящей через обод обруча.

Подчеркиваем, что относительно любой нецентральной оси момент инерции больше, чем относительно параллельной ей центральной.

где /„ — момент инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр тяжести, d — расстояние между осями и т — масса тела. Это — так называемая теорема Штейнера.

Обратим внимание, что относительно нецентральной оси момент инерции всегда больше, чем относительно параллельной ей центральной.

Проводим оси координат так, чтобы ось Oz была параллельна силам, а тем самым оси Ох и Оу будут перпендикулярны силам. Тогда все силы проектируются на ось Oz в натуральную величину со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление силы с направлением оси, или противоположно этому направлению. Проекции всех сил на оси Ох и Оу равны нулю, а также равны нулю моменты всех сил относительно параллельной им оси Oz [см. (1.25)]. Поэтому вместо уравнений (2.4) получаем систему

т. е. момент инерции сечения относительно произвольной оси, лежащей в ее плоскости, равен моменту инерции относительно параллельной центральной оси плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

2. Осевой момент инерции сечения относительно нецентральной оси равен осевому моменту инерции относительно параллельной центральной оси плюс площадь сечения, умноженная на квадрат расстояния между осями (фиг. 9):

2. V — предельное смещение плоскости симметрии паза относительно параллельной ей осевой плоскости.

W — предельное смещение плоскости симметрии паза относительно параллельной ей осевой плоскости.

Примечания: 1. Допуски резьбы по 2-му классу точности по ГОСТ 9253-59. 2. v — предельное смещение плоскости симметрии паза относительно параллельной ей осевой плоскости.

Примечания: I. Допуски резьбы по 2-му классу точности по ГОСТ 9253-59. 2. w — предельное смещение плоскости симметрии паза относительно параллельной ей осевой плоскости.

Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси равен осевому моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс произведение площади на квадрат расстояния между осями.

Возможны следующие способы представления положения выходного звена некоторой материальной системы звеньев: явной функцией, разрешенной относительно параметра, определяющего это положение; неявной функцией, уравнением или системой уравнений. Рассмотрим сначала постановку задач анализа точности положения выходного звена.

Полученное равенство представляет собой алгебраическое уравнение /г-й степени относительно параметра р. Наименьший корень р\ уравнения (18.122) имеет смысл приближенного значения критической нагрузки: р\ = р* ').

В силу однородности исходного уравнения (2.79) функция-ошибка L (х, Р, cit с2, •••, CN) является однородной относительно произвольных постоянных с,-. Следовательно, система уравнений (2,81) тоже однородная, и для существования отличных от нуля решения полученной системы уравнений ее определитель должен быть равен нулю. Последнее условие приводит к алгебраическому уравнению степени N относительно параметра Р. Корни этого уравнения дадут приближенно N первых собственных значений Рп. Для каждого из найденных собственных значений Рп можно выразить все произвольные постоянные через одну произвольную постоянную (например, через сх) и найти приближенно N первых собственных функций с помощью ряда (2.80).

При изгибе пластины нормаль к ее срединной плоскости поворачивается в плоскостях, параллельных координатным плоскостям кг и уг, соответственно на углы ®х и $у; эти углы с точностью до величин высшего порядка малости относительно параметра ос связаны с поперечным прогибом соотношениями (см. § 8)

— главные радиусы кривизны поверхности в рассматриваемой точке. С точностью до величины высшего порядка малости относительно параметра а гауссова кривизна деформированной срединной плоскости определяется выражением [19]

Во всех уравнениях будем сохранять только слагаемые первого порядка малости относительно параметра а (см. гл. 1). Все этапы вывода линеаризованного уравнения для пластины аналогичны соответствующим этапам вывода линеаризованного уравнения для стержня (см. § 13). Некоторые усложнения, связанные с двумерностью задачи, носят не принципиальный, а чисто технический характер.

Те же рассуждения справедливы для суммы моментов относительно оси, параллельной оси у. Таким образом, для отклоненного элемента остаются в силе зависимости (4.16). Следовательно, поперечные силы Qx, Qy, как и моменты Мх, Ми, Мху, имеют первый порядок малости относительно параметра а.

Полученная система N уравнений линейна и однородна относительно варьируемых параметров с,-. Для существования нетривиальных решений этой системы ее определитель должен быть равен нулю. Равенство нулю определителя однородной системы уравнений приводит к характеристическому уравнению, которое относительно параметра нагрузки Р имеет N-ю степень; N корней этого характеристического уравнения дают приближенно N первых собственных значений Рп. Для каждого из этих значений Рп из системы (4.59) все варьируемые параметры можно выразить через какой-нибудь один (например, /-и) и, используя выражение (4.58), приближенно получить N первых собственных функций

Подстановка этой функции в разрешающее уравнение дает характеристическое уравнение восьмой степени относительно параметра г. Определив (для конкретных значений параметров оболочки, нагрузки и числа волн) восемь корней характеристического

Пример. Пусть Р = 1; Ji = J2; Jn = 4J2; 0 «? П^ s? 1. Определим сначала «собственные» частоты системы в зависимости от П2 . Уравнение (5.149) относительно параметра §, линейно связанного с искомой частотой р, является трансцендентным, поэтому удобнее, задаваясь в некотором диапазоне значениями Ф, определять функцию П^ . При этом надо следить за тем, чтобы подкоренное выражение в формуле (5.149) было положительным. Примем сначала •ft = р = 1, что соответствует П'2 — 0. Затем, уменьшая § с некоторым шагом до достижения значения (П21!)П1ах=1, определяем координаты кривой./ (рис. 64), соответствующей в данном случае низшей «собственной» частоте. Исходным значением для кривой 2 будет •& = л/2, начиная с'которого следует увеличи-

и разрешить относительно параметра Тм: