Относительно преобразования

В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в § 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение.

Таким образом, все три величины, т, а и F, входящие в уравнение (2.6), не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, а следовательно, не меняется и само уравнение (2.6). Другими словами, уравнение ma = F инвариантно относительно преобразований Галилея.

6. Выполняется принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчета эквивалентны друг другу в механическом отношении, все законы механики одинаковы в этих системах отсчета, или, другими словами, инвариантны относительно преобразований Галилея.

Эти формулы показывают, что ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

Четырехмерные векторы. Четырехмерные векторы определяются относительно преобразований Лоренца (13.23), которые в обозначениях х\ = х, хч = у, хз = г, X4 = ict можно представить в виде, аналогичном (6.20):

О втором законе Ньютона. Второй закон Ньютона (19.1) может рассматриваться как закон, а не как определение силы только в том случае, если имеется независимое от этого закона определение силы. Одно из независимых определений силы как силы деформированной пружины было рассмотрено в предыдущем параграфе. Однако этого еще недостаточно, чтобы ('19.1) считать законом, потому что такое определение силы справедливо лишь для покоящихся тел. Поэтому необходимо произвести опыты с движущимися деформированными пружинами и ускоренными ими телами и убедиться, что соотношение (19.1) не зависит от скорости. Опыт полностью подтверждает такое заключение, и поэтому (19.1) является именно законом, а не определением силы. Физическое содержание этого закона состоит не в том, что сила имеет то или иное конкретное выражение, а в том, что сила определяет вторые производные координат по времени (dv/df=d2r/d/2). Из инвариантности ускорения относительно преобразований Галилея следует инвариантность силы.

Однако в релятивистской динамике уравнением движения является уравнение (19.3а), которое инвариантно относительно преобразований Лоренца по определению, а сила F не инвариантна. Ситуация сильно усложняется, однако для ответа на вопрос, является ли релятивистское уравнение законом движения или определением силы, можно дать ответ, не вдаваясь в обсуждение деталей этой сложной си-

Уравнение (4) отличается от аналогичного уравнения в изотропном случае тем, что (1) в случае изотропии параметр материала F представляет собой единственную скалярную константу, тогда как при учете анизотропии прочностных свойств F должно быть совокупностью многих параметров, инвариантных относительно преобразований системы координат; (2) замена инвариантов напряжений инвариантами соответствующего девиатора недопустима, поскольку в случае анизотропных материалов независимость критерия текучести от гидростатического давления физически необоснованна. Эти различия являются причиной того, что в случае анизотропии прочностных свойств оказываются неприемлемыми многие из физических соображений, использованных ранее для изотропного материала. В самом деле, в разд. II, В, 5 будет показано, что критерии типа (4) приводят к неоправданным алгебраическим усложнениям.

Поскольку математическая структура критерия максимального напряжения идентична структуре критерия максимальной деформации, при анализе данного критерия с позиций основных требований, предъявляемых к математической модели, мы обнаружим те же недостатки, которые были отмечены для критерия максимальной деформации. Мы не будем заниматься повторным перечислением этих недостатков; отметим только еще раз, что критерий максимального напряжения представляет собой вырожденный случай тензорно-полиномиальной формулировки. Он инвариантен относительно преобразований координат, но чрезвычайно громоздок и не обладает достаточной гибкостью для описания поверхностей прочности общего вида. Этот критерий представляется удобным для описания прочностных свойств композитов, армированных в двух взаимно перпендикулярных направлениях и обладающих весьма малыми модулями упругости. Но даже для подобных материалов отношения пределов прочности должны удовлетворять условиям (Зба) —(Збе).

Операция сложения тензоров инвариантна относительно преобразований систем координат.

Учитывая инвариантность матрицы р.„ относительно преобразований координат и независимость скорости упругих волн от сдвиговых напряжений, получим

Сделанное здесь предположение об инвариантности законов физики относительно преобразования (11) означает, что они должны иметь в точности одинаковый вид, будучи записаны в штрихованных и в нештрихованных переменных, как, например, урав- Ри^3'/)4'!

инвариантно относительно преобразования Лоренца. Уравнение, описывающее волновой фронт, имеет, таким образом, одну и ту же форму во всех системах отсчета, движущихся с постоянной относительной скоростью. Применение системы уравнений (9) является единственным способом решения всех наших трудностей. Студент должен твердо запомнить преобразование Лоренца. Его не труднее заучить наизусть, чем какую-либо грамматическую форму неправильного глагола на иностранном языке.

В результате объединения пространства и времени в одну четырехмерную реальность (пространство — время), все четыре измерения которого в принципе эквивалентны, получается стройная система записи величин, инвариантных относительно преобразования Лоренца. При поворотах в обычном трехмерном простран-= f стве преобразуются только пространственные координаты: например, при повороте на угол 9 вокруг оси г координаты преобразуются по следующим формулам:

Рис. 11.37. Один из способов вывода формул преобразования Лоренца состоит в том, что по осям координат откладываются значения let и х. При этом Р — х2 — с1!2. Следовательно, 1г = —s2 является инвариантом относительно преобразования величин х'. I'

ОР в пространстве остается неизменным. Подобно этому мы определяем вектор, подвергающийся преобразованию Лоренца, как совокупность четырех составляющих: х\ е х, *2 = у, Хз га z, х^ = let. Система этих четырех величин обычно называется четырехмерным вектором. Точно так же любые четыре величины, которые преобразуются точно по такому же правилу, по определению образуют четырехмерный вектор, инвариантный относительно преобразования Лоренца; так, если рх, РУ, Рг — составляющие импульса материальной точки, а Е — ее энергия, то четыре числа: р\ = рх, PZ = ра, Рз = Рг, ри= = iE]c — тоже образуют четырехмерный вектор.

Понятие о четырехмерном векторе, инвариантном относительно преобразования Лоренца, и соответствующая система обозначений весьма полезны в том смысле, что они позволяют нам, не задумываясь, писать уравнения, вид. которых не зависит от какой-либо конкретной инерциальной системы отсчета. Эти уравнения автоматически согласуются с постулатом теории относительности, что основные физические законы одинаково формулируются во всех инер-циальных системах отсчета. Для обычных векторов равенство а = Ь не зависит от системы координат. Выражая его через составляющие, мы получим ai = bi при { = 1, 2, 3. В другой системе координат, в которой составляющими вектора а будут числа а^, а составляющими вектора Ь — числа bt все-таки выполняется равенство

В гл. 12 мы получим уравнения (65) и (69), не ссылаясь на понятия четырехмерного вектора и пространства — времени. Однако, познакомившись с этими понятиями, мы овладели еще одним приемом теоретического анализа и получили простой и изящный метод составления уравнений, инвариантных относительно преобразования Лоренца. Этот метод открывает возможность для дальнейших обобщений, ведущих к более абстрактным и математически усложненным теориям — релятивистской квантовой теории и общей теории относительности Эйнштейна. Возможность составлять уравнения, инвариантные относительно преобразования Лоренца, не доказывая в каждом отдельном случае их инвариантность, позволяет физикам рассматривать еще более сложные проблемы, которые не могли бы быть решены иным путем.

Как и в гл. 3, мы будем признавать только такие законы, которые тождественны во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга без ускорения. Однако вместо преобразования Галилея мы теперь будем руководствоваться преобразованием Лоренца для выяснения изменений, которые требуется внести в ту или иную физическую формулу при переходе от одной системы отсчета к другой. При о/с-»-0 преобразование Лоренца превращается в преобразование Галилея. Вместо требования инвариантности физических законов относительно преобразования Галилея мы теперь будем требовать их инвариантности относительно преобразования Лоренца.

Будем искать выражение импульса, которое было бы инвариантно относительно преобразования Лоренца. Это выражение должно быть таким, чтобы составляющая импульса частицы по оси у не зависела от составляющей по оси х скорости системы отсчета, в которой наблюдается соударение. Если такое выражение будет найдено, то сохранение проекции импульса на ось у в одной системе отсчета будет обеспечивать ее сохранение во всех системах отсчета. Мы уже знаем, что относительно преобразования Лоренца смещение Д(/ в направление у одинаково во всех системах отсчета. Однако время Af, затрачиваемое на прохождение расстояния At/, зависит от системы отсчета, и, следовательно, составляющая скорости vy = = A«//Ai тоже зависит от системы отсчета. Для измерения промежутка времени Д< можно воспользоваться, вместо лабораторных часов, воображаемыми часами, расположенными на частице. Эти последние будут измерять собственное время частицы Ат. Это время должно быть признано всеми наблюдателями. Таким образом, отношение Д«//Дт одинаково для всех систем отсчета.

дает готовый инвариант относительно преобразования Лоренца, поскольку единица есть постоянная величина. Умножая обе части равенства (Па) на М2с4, получим

Поскольку масса покоя постоянна, величина М2с4 также постоянна и, следовательно, является инвариантом относительно преобразования Лоренца. Но что за физическую величину выражает произведение M2c4iy2? Его роль в (12а) ясно показывает, что это — важная физическая величина, так как при вычитании из нее р2с2 получается число М2с4, являющееся инвариантом относительно преобразования Лоренца. Рассмотрим величину