Относительно продольных

При потере устойчивости приращения получают как векторы, характеризующие напряженное состояние стержня (Q и М), так и векторы, характеризующие его форму (деформированное состояние), в частности приращения получает вектор и, поэтому для вывода уравнений равновесия стержня относительно приращений векторов следует взять векторные уравнения, записанные в подвижной системе координат (в базисе {с;}). Воспользуемся системой уравнений (1.57)—(1.61), из которой, сохраняя только слагаемые, линейно зависящие от приращений векторов, и исключая уравнения, соответствующие критическому состоянию равновесия, после преобразований получаем следующую систему уравнений:

щие приращения для приближений неизвестных на s-й итерации.. Очевидно, что определение Аи*^ эквивалентно определению «((?>. В-методе Ньютона система линейных уравнений обычно записывается: относительно приращений Au. Для ее получения значения коэффициентов а^) представим, используя разложение в ряд Тейлора в точке (U'SY'), w(s— !>) и ограничиваясь его первым членом, в следующем виде:

Подставив теперь выражения для коэффициентов вида (1.24) и ы<р = u + Аи<=> в исходную систему (1.23) и отбросив члены второго порядка малости (произведения Ли<-!> • Аи'8.)), получим нужную нам систему линейных уравнений относительно приращений

Линейность системы (1.25) относительно приращений Au(f>, следует из того, что все ее коэффициенты рассчитаны по значениям искомых величин на предыдущей итерации. На каждом шаге итераций можно использовать для решения (1.25) какой-либо прямой метод. Легко увидеть, что выражения в правых частях уравнений системы (1.25) представляют собой невязки для исходной системы (1.23) при значениях и'5-') и и(8~'>. Если итерационный процесс сошелся, то в правых частях получим нули и решение системы (1.25)

(3.67). Затем, пренебрегая слагаемыми, содержащими (Ды„^)2, получают систему линейных разностных уравнений относительно приращений Аип8/) • Эта система имеет также трехдиагональную матрицу и решается методом прогонки.

Таким образом при линеаризации по методу Ньютона на каждой итерации решают задачу относительно приращений Ди^, а затем вычисляют температуры и^ согласно (3.71). Этот метод имеет более высокую скорость сходимости по сравнению с методом последовательных приближений, но оказывается несколько сложней в про-

В случае большого порядка системы применяются линеаризация функционала в ряд Тейлора в окрестности нулевого приближения, отбрасывание членов со степенями выше первой относительно приращений коэффициентов, решение линейной системы относительно приращений. Найденное решение рассматривается в качестве нулевого приближения, и процесс уточнения повторяется несколько раз. Для удовлетворения граничных условий, в частности в критической точке жидкость — пар, применяется метод неопределенных множи-

Систему уравнений (IV. 20) — (ГУ. 23) решим относительно приращений скорости, давления и плотности, заменив дифференциалы малыми приращениями на небольших участках пути,

и решая так же, как в [2], совместно уравнения сохранения относительно приращений соответствующих величин, получим:

Для реализации МКЭ в форме метода перемещений необходимо иметь зависимости напряжений от деформаций. Однако уравнения (2.148) не решаются относительно приращений напряжений da^day^da^. Для

где [М* } — матрица приведенных масс, вычисленная с учетом конечно-элементных аппроксимаций перемещений; [/С*] — матрица жесткости; IS*] — матрица приведенных начальных напряжений. Решение задачи на собственные значения (3.135) позволяет исследовать влияние предварительного нагружения на частоту колебаний. Для решения с помощью МКЭ физически и геометрически нелинейных задач статики можно воспользоваться линеаризованной формулировкой задачи (3.90) и получить систему уравнений относительно приращений обобщенных узловых перемещений на /n-й итерации:

1) привязка колонн средних рядов к поперечным модульным разбивочным осям (кроме колонн в торцах зданий, у температурных швов и перепадов высот) и к продольным модульным осям должна соответствовать указанной на рис. 1.1. В зданиях, оборудованных мостовыми кранами, при наличии проходов вдоль подкрановых путей допускается смещать сечение верхней части колонн относительно продольных модульных разбивочных осей;

Движение головки должно происходить параллельно испытуемой поверхности контролируемой детали. В противном случае профилограмма будет перекошена относительно продольных линий профилографной ленты, а при измерениях показывающий прибор будет давать неправильные показания. Параллельность сначала устанавливают визуально по корпусу головки подъемом и опусканием мотопривода или изменяют наклон предметного стола маховиком нивелирования 17 (модель 201, рис. 38) или барабаном нивелирования 14 (модель «Калибр-ВЭИ», рис. 39), причем эти операции можно выполнять, не останавливая движения иглы. Контролируют параллельность по положению стрелки контрольного прибора в нижнем прямоугольнике шкалы (модель 201) или по показанию его не более 26 В (модель «Калибр-ВЭИ»), а при записи еще по расположению профилограммы вдоль линий, нанесенных на профилографной ленте.

На рис. 3.9 изображен упругий стержень, находящийся под действием распределенной нагрузки q (x) и сосредоточенной силы Р, причем правый торец стержня упруго закреплен относительно продольных смещений. Задачу определения начального напряженно-деформированного состояния такого стержня при неискривленном состоянии считаем решенной и начальные осевые усилия NO (x) = EFu'Q известными [где EF = EF (х) —^ жесткость стержня на растяжение и = и0 (х) — начальное осевое перемещение].

устойчивости поведение пластины будет таким же, как и поведение стержня с незакрепленными относительно продольных смещений торцами. Критическая точка бифуркации А г будет точкой бифуркации первого типа (рис. 5.7, б). После потери устойчивости происходит такой быстрый рост поперечных прогибов и изгиб-ных напряжений, что потерю устойчивости пластины практически можно считать потерей ее несущей способности. Количественные оценки прогибов и напряжений при закритическом деформировании пластины можно получить таким же путем, каким это сделано для стержня. Но если для стержней этот случай закритического поведения основной, то для тонкой пластины, являющейся элементом силовой конструкции, этот случай — исключительный.

Как неоднократно отмечалось, пластина с закрепленным относительно поперечных перемещений контуром не может изгибаться без удлинений и сдвигов срединной плоскости. В этом случае закритическое поведение пластины будет качественно отличным от рассмотренного. Как и в случае стержня с закрепленными относительно продольных перемещений торцами, после потери устойчивости такая пластина может продолжать воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку.

В случае жестких опор критическая точка бифуркации Аг является критической точкой первого типа, но при дальнейшем увеличении внешней нагрузки кольцо ведет себя подобно стержню с закрепленными относительно продольных смещений концами (см. § 17). Поведение кольца усложняется тем, что в процессе на* гружения происходит перестройка формы равновесия кольца от бифуркационной формы, изображенной штриховой линией на рис. 6.9, а, к форме равновесия, при которой кольцо «зависает» на жестких опорах (рис. 6.9, б), продолжая воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку.

В эти формулы не входят значения жесткостей стержня и пластины на растяжение — сжатие, поскольку при бесконечно малом изгибе прямого стержня и плоской пластины удлинения оси стержня или деформации срединной плоскости пластины имеют второй порядок малости. Жесткость стержня на растяжение-сжатие влияет только на закритическое поведение стержня (в том случае, когда концы стержня закреплены относительно продольных смещений) так же, как жесткость пластины на растяжение-сжатие влияет только на закритическое поведение пластины с закрепленным контуром.

Динамическая модель колебательной системы высокоскоростной ультрацентрифуги представлена на рис. 1. Гибкий вал привода ультрацентрифуги нижним своим концом закреплен в роторе электродвигателя, который вращается в жестких подшипниках скольжения корпуса (статора) и не может перемещаться относительно него в поперечном направлении. Кроме того, между валом и корпусом находятся две упругие связи (первая ступень подвески), одна из которых, нижняя (податливая опора) жесткостью C.J неизменно соединяет вал с корпусом, а вторая, верхняя жесткостью с3 (ограничитель амплитуды) включается в работу только при превышении амплитуды колебаний сверх установленной величины. На верхнем конце гибкий вал несет тяжелый массивный ротор, причем точка закрепления ротора на валу не совпадает с его центром масс. В свою очередь, корпус электродвигателя установлен на гибком стержне, образующем вторую ступень подвески. Этот стержень, жесткий относительно продольных перемещений, имеет сравнительно небольшую жесткость на изгиб, равную или соизмеримую с жесткостью вала, и допускает значительные перемещения корпуса в поперечном направлении.

Выявленные в процессе исследований температурные и силовые перекосы относительно продольных осей цилиндров мощных паровых турбин блоков СКД позволили сделать предположение о возможности с помощью таких же периодических неравномерностей бороться с затрудненностью перемещений опорных элементов.

в) отсутствуют условия, которые смогли бы привести к изгибной деформации, т. е. начальная форма деталей и температурные поля строго симметричны относительно продольных осей (или срединной плоскости—для пластины); в деталях нет начальных технологических напряжений, релаксация которых привела бы к изгибу; отсутствует опасность коробления в связи с тонкостенностью.

Рассмотрим сначала закритическое деформирование прямого упругого стержня. Возможны два качественно различных случая. В первом случае, когда после потери устойчивости один из торцов стержня свободно смещается в продольном направлении, закритиче-. ское деформирование сводится к изгибу и жесткость стержня на растяжение — сжатие практически не влияет на поведение стержня после потери устойчивости (рис. 7.19, а). Во втором случае, когда оба торца стержня закреплены относительно продольных смещений, закритическое деформирование связано не только с изгибом, но и с растяжением стержня (рис. 7.19, б).