Относительно произвольных

Для определения закона движения поршня уравнение (14.15) обычно разрешают относительно производной давления по времени:

Эту краевую задачу можно сформулировать в других терминах, перейдя от одного дифференциального уравнения порядка 2п к системе порядка In, состоящей из In дифференциальных уравнений, каждое из которых, будучи первого порядка, разрешено относительно производной от одной из искомых функций. Такая форма системы называется нормальной формой Коши. Разумеется,, что при указанном переходе подвергаются соответствующей модификации и граничные условия (12.202). Выполняется это следующим образом.

Так как матрица L (2) л-ro порядка, уравнение (12.219) эквивалентно системе п2 дифференциальных нелинейных уравнений, каждое из которых первого порядка и разрешено относительно производной от искомой функции. Эта система уравнений может быть решена при помощи того или иного численного метода. В приведенном ниже примере использован предложенный намиг метод итераций.

В результате такого преобразования мы имеем нелинейное уравнение уже первого порядка, решенное относительно производной. Это уравнение интегрировать легче, чем уравнение (61).

2. Это нелинейное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, может быть решено численным или графическим методом, как было показано в главе IV. В рассматриваемой механической системе устанавливается режим со средней угловой скоростью соср. Построив график, можно полу-

например, в той области, где/(*, у) и fy' (x, у) непрерывны, причём f (л, у) представляет правую часть уравнения, разрешённого относительно производной (уравнения в нормальной форме):

Уравнения 1-го порядка, не решённые относительно производной. В том случае, когда уравнения 1-го порядка, заданные в форме F (х, у, у') = 0, могут быть разрешены относительно производной у', полученное решение будет, вообще говоря, неоднозначной функцией переменных х, у. Обычно в этом случае последовательно рассматриваются все однозначные непрерывные ветви /1 (х, у), /2 (х, у),..., fn (х, у) этой многозначной функции и интегрируются уравнения нормальной формы

В том случае, когда решение уравнения F (х, у, ,у') — 0 относительно производной у' затруднительно или вовсе не удаётся, могут быть применены методы, позволяющие иногда находить интегралы уравнений без предварительного решения уравнения относительно у'.

Вывод уравнений (42) и (43) и сделанные построения будут понятны, если уравнение (2) разрешить относительно производной, расставив знаки в соответствии с рассматриваемым на фиг. 23 примером

Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной.

Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной.

Таким образом, произведя боковое нивелирование кранового рельса относительно произвольных створов AD и ВС, можно перейти к единой системе отсчетов относительно фиксированного створа АВ.

Можно также распространить понятие «радиус инерции сечения» и на моменты инерции относительно произвольных (не главных) центральных осей.

Например, шесть уравнений (4), полученных после разрешения общих интегралов уравнений движения относительно произвольных постоянных, образуют шесть независимых первых интегралов.

В силу однородности исходного уравнения (2.79) функция-ошибка L (х, Р, cit с2, •••, CN) является однородной относительно произвольных постоянных с,-. Следовательно, система уравнений (2,81) тоже однородная, и для существования отличных от нуля решения полученной системы уравнений ее определитель должен быть равен нулю. Последнее условие приводит к алгебраическому уравнению степени N относительно параметра Р. Корни этого уравнения дадут приближенно N первых собственных значений Рп. Для каждого из найденных собственных значений Рп можно выразить все произвольные постоянные через одну произвольную постоянную (например, через сх) и найти приближенно N первых собственных функций с помощью ряда (2.80).

Подчиняя решение (4.52) этим граничным условиям, получаем однородную систему уравнений относительно произвольных постоянных Аг и Л4:

общие интегралы которых будут содержать 4п + 4 произвольных постоянных. Для определения этих постоянных будем иметь 4п + 4 условий: 4 граничных условия (при д; = 0ил;=1)и4п условий сопряжения (4 условия на каждой нагрузке или каждой опоре). Каждое отдельное условие как граничное, так и сопряжения выражается линейным однородным уравнением относительно произвольных постоянных, принимаемых за неизвестные, причем правые части этих уравнений — нули, коэффициенты при этих неизвестных будут выражены через величину k и числа а1; а2, • • • , а„. Если определитель A (k) этой системы 4п + 4 уравнений не равен нулю, то единственная система решений есть та, когда все неизвестные, т. е. произвольные постоянные, равны нулю, тогда вал сохраняет прямолинейную форму; решения же, отличные от нуля, будут при тех значениях k, при которых

Теорема. Два последовательных конечных винтовых перемещения на комплексные углы Ф х и Ф 2 относительно произвольных осей пространства с единичными винтами ?\ и Ez могут быть заменены одним эквивалентным результирующим винтовым перемещением. Ось, единичный винт которой обозначим через Е, и ком-90

Если моменты инерции J x, Jv, Jz относительно трех перпендикулярных осей х. у, z известны, как и соответствующие центробежные моменты Dxy, Dyz, Dzx, то можно легко вычислить моменты инерции относительно произвольных осей, проходящих через начало координат.

ложенных в центре давления каждого пуансона, найти координаты центра давления штампа относительно произвольных осей ОХ и ОТ:

Заданные йа торцах оболочки четыре однородных граничных условия (по два на каждом торце) составляют систему четырех однородных линейных уравнений относительно произвольных постоянных AJ, Равенство нулю определителя этой системы уравнений приводит к характеристическому уравнению, наименьший корень Ях которого* позволяет, используя выражение (8.52), записать

Четыре граничных условия дают систему четырех однородных линейных уравнений относительно произвольных постоянных A t. Равенство нулю определителя этой системы приводит к характеристическому уравнению для Я. Как показывают вычисления, если жесткость упругого закрепления левого края оболочки f >• 30ZV/, .то в рассматриваемой задаче этот край можно считать жестко закрепленным относительно осевого перемещения и оболочки. Тогда. характеристическое уравнение для Я упрощается и принимает вид