Относительно собственных

*) В тех случаях, когда уравнения дифференциальных связей линейны относительно скоростей, известны условия, при которых соответствующие дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы.

Ограничиваясь теперь рассмотрением натуральных систем и вспоминая, что лагранжиан, как и кинетическая энергия натуральной системы, может быть представлен суммой трех форм — квадратичной L2, линейной Lt и нулевой степени L0 относительно скоростей q, перепишем равенство (21) так:

(где t и t' — время, отсчитываемое соответственно по часам, покоящимся в К и К'} носят название галилеевых преобразований координат. Они отражают переход от одной системы координат к другой в случае, когда одна из систем координат движется относительно другой равномерно со скоростью v вдоль оси х (конечно, при указанных выше ограничениях относительно скоростей).

Экспериментальной проверке подвергались также положения теории Сен-Венана относительно скоростей стержней после удара [3, 30].

Уравнение (17.27) является общим, уравнением динамики. Оно известно в механике как принцип Даламбера — Лагранжа для голономных и неголономных систем (с линейными относительно скоростей связями). В выражении, стационарность которого утверждается принципом Даламбера — Лагранжа, варьируются лишь координаты, а скорости, ускорения и время остаются неизменными (8xt =И= 0, 8xi = 0, 8Xi = 0 (xyz); f>t = Q). Если связи не идеальные, то принцип остается в силе, но тогда в активные силы нужно включать и реакции неидеальных связей.

Разрешая (VII. 127) относительно скоростей, получим (при Ва * 0):

Дифференцируя по параметру времени /уравнения, определяющие перемещения механизма, можно получить совокупность линейных уравнений относительно скоростей изменения переменных параметров.

Испытания на холостых ходах (обратного и наполнения) служат для получения полных данных относительно скоростей холостых ходов и гидродинамического режима систем „закрытый бак — рабочий цилиндр" и „аккумулятор — возвратные цилиндры". При этом определяются: давление жидкости В рабочем цилиндре; давление в возвратных цилиндрах; давление в закрытом баке (во всех трёх точ-

Поскольку (7.23) идентично (1.108), его также можно свести к матричному уравнению вида (6.46), но относительно скоростей Изменения составляющих перемещения Vt и вектора напряжения Pi

Предлагаемый здесь метод обеспечивает автоматическое удовлетворение уравнений для неизвестных х и у и уравнений относительно скоростей их изменения.

Подставив (16.14) и (16.19) в уравнение (16.32) с учетом (16.27), получают систему нелинейных дифференциальных уравнений относительно скоростей:

(16.34) Граничные условия относительно скоростей имеют вид

В заключение этого параграфа рассмотрим движение ракеты на активном прямолинейном участке траектории (рис. II 1.26). В качестве объема W рассмотрим объем, ограниченный внешней оболочкой корпуса ракеты и срезом сопла. Предположим, что процесс горения топлива протекает достаточно медленно и что поэтому на интересующем нас интервале времени скорость движения центра инерции масс, расположенных внутри ракеты, относительно ее корпуса пренебрежимо мала по сравнению со скоростью самой ракеты. Рассматривая разгон ракеты на прямолинейном активном участке траектории, пренебрежем вращением ракеты относительно собственных осей, т. е. предположим, что ракета движется поступательно.

где в данном случае /ж,-==6,-Л?/12 — моменты инерции прямоугольников относительно собственных центральных осей (осей C^xj и G^XZ), А; — площади прямоугольников и а,- — расстояния между осями. Последние легко находятся из рис. 2.63, 6:

Для определения главных центральных моментов инерции таких сечений (будем называть их составными) их разбивают на простейшие части, для каждой из которых могут быть вычислены по известным формулам площади, координаты центров тяжести, моменты инерции относительно собственных главных центральных осей. Для прокатных профилей эти величины берут из таблиц ГОСТов. Далее определяют координаты центра тяжести всего сечения, как это изложено в § 28, а следовательно, находят положение главных центральных осей всего сечения. После этого определяют моменты инерции каждой из частей, на которые разбито сечение, относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям всего сечения. Применяя формулу параллельного переноса, находят моменты инерции каждой из указанных частей относительно главных центральных осей всего сечения. Суммируя эти величины, получают искомые главные центральные моменты инерции заданного сечения.

Вычислим моменты инерции каждого из прямоугольников относительно собственных центральных осей: л;, и у — для прямоугольника /; *2 и у — для прямоугольника //:

Находим моменты инерции частей сечения относительно собственных главных центральных осей:

Для определения главных центральных моментов инерции таких сечений (будем называть их составными) их разбивают на простейшие части, для каждой из которых могут быть вычислены по известным формулам площади, координаты центров тяжести, моменты инерции относительно собственных главных центральных осей. Для прокатных профилей эти величины берут из таблиц ГОСТов. Далее определяют координаты центра тяжести всего сечения, а следовательно (для сечений, имеющих хотя бы одну ось симметрии), находят положение главных центральных осей всего сечения. После этого определяют моменты инерции каждой из частей, на которые разбито сечение, относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям всего сечения. Применяя формулу параллельного переноса, находят момент инерции каждой из указанных частей относительно главных центральных осей всего сечения. Суммируя эти величины, получают искомые главные центральные моменты инерции заданного сечения.

Вычислим моменты инерции каждого из прямоугольников относительно собственных центральных осей: xt и у — для прямоугольника /; х„ и у — для прямоугольника //:

Находим моменты инерции частей сечения относительно собственных главных центральных осей:

3. Вычисляются моменты инерции отдельных частей сечения относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям всего сечения.

Вычисляем для простейших фигур осевые моменты инерции относительно собственных осей координат, пользуясь формулой (5.5). Введем следующую индексацию. Подстрочный индекс момента инерции будет означать, относительно какой оси вычисляется момент инерции, а надстрочный — какой фигуры,

Применяя метод разбиения и формулы моментов инерции прямоугольников относительно собственных центральных осей, а также теорему о моменте инерци-и относительно оси, параллельной центральной, записываем: