Относительно срединной

системы относительно состояния равновесия. (Более подробно об этом написано в гл. 3 второй части книги.)

При колебаниях стержня относительно состояния равновесия вектор Мж равен

§ 2.2. Уравнения движения стержня относительно состояния равновесия

графе рассматривалось движение стержня относительно его естественного (ненагруженного) состояния. Часто приходится исследовать движение стержня относительно состояния равновесия (а не его естественного состояния). В этом случае необходимо в уравнениях движения учитывать статическое напряженное состояние стержня (векторы Q0 и М0) . С учетом статического напряженного состояния векторы Q и М, входящие в уравнения движения, приведенные в предыдущем параграфе, можно представить в виде

При действии на стержень различных возмущений, как детерминированных, так и случайных, возможно возникновение колебаний стержня относительно состояния равновесия или стационарного движения. В большинстве случаев колебания являются нежелательными, так как они мешают нормальной работе, а в ряде случаев могут быть причиной аварий. На рис. 3.1 показано крыло самолета в потоке воздуха, которое при определенных режимах обтекания начинает вибрировать (явление флаттера), что для нормальной работы конструкции недопустимо. На рис. 3.2 показана цилиндрическая пружина, жестко связанная

Вспомогательные соотношения. Получим уравнения малых колебаний стержня относительно состояния равновесия, считая, что возникающие при колебаниях дополнительные внутренние усилия и перемещения являются малыми. Положим

где Qo, MO, XQ, Чо, цо — статические составляющие соответствующих векторов; AQ, AM, Ax, Aq, Ajm, Av, Au, Aw, A§ — векторы, компоненты которых являются величинами первого порядка малости, поэтому их произведениями (векторными и скалярными) при выводе уравнений движения пренебрегаем. Рассматриваются малые колебания относительно состояния равновесия, поэтому

характеризующие малые колебания стержня относительно состояния равновесия, получим из уравнений (2.49), (2.51) — (2.53) и {2.57) уравнения малых колебаний стержня.

С учетом (3.22) и (3.26) из уравнений (2.48), (2.49), (2.52), (2.53), (2.58) получаем соответственно уравнения малых колебаний стержня в декартовых осях относительно состояния равновесия (с учетом начального напряженного состояния Q/0 и М/0);

Полагая в уравнениях (3.38), (3.39) ДР,-=Д7^=0 (/=1,2,3), получаем уравнения свободных колебаний стержня относительно состояния равновесия.

Полагая в уравнениях (3.44), (3.45) ДР^ =ДГХ =0, получаем уравнения свободных колебаний стержня относительно состояния равновесия.

строго говоря, правомерен лишь для случая симметричного относительно срединной плоскости пластин, расположения ребер, а также для упомянутой ранее задачи подкрепления проволочными петлями. В противном случае и.чгибные напряжения, действующие в пластине, могут не только уменьшить подкрепляющий эффект ребер жесткости, но и принести it увеличению коэффициента ин-теч"ни!1ости напряжении в кончите трещины. Может возникнуть ситуация, подобная таковоп при внецентрешгом растяжении, .характерном для растягиваемой пластины, подкрепленной накладным листом. С этой точки зрения наиболее достоверные результаты получены для методов конструкционного торможения трещин, основанных на использовании разгружающих отверстий. Т миге отверстия не вносят нежелательный эксцентриситет и зачастую более просты в исполнении и пе требуют дополнительных затрат металла. На рис. 21.5 приведена зависимость коэффициента интенсивности напряжений для трещины, распространяющейся между двумя отверстиями, от геометрии трещины п отверстий [302].

Слагаемые ЛхсЬ l-7"^2— /?2z/ao и Л2сп /"^2 — /J2z/a^ характеризуют симметричное движение относительно срединной поверхности плиты z==0, что соответствует волне растяжения. Подставляя эти слагаемые в граничные условия

В разделе Ш,В рассмотрены тонкие слоистые материалы, находящиеся в условиях безмоментного нагружения. В этом случае существенно упрощается вывод основных соотношений по сравнению с общим. Если материал образован из слоев, расположенных несимметрично относительно срединной поверхности (т. е. имеет место неразделяющееся плоское и изгибное напряженное состояние) и (или) нагружен изгибающими моментами {М}, то деформации распределяются по толщине линейно, но не равномерно вследствие эффекта изменения кривизны. В этом случае деформации определяются равенством (9), т, е. {e}fe = {е0} -J-+ -Z {к}.

Материал образован из слоев толщиной 0,1775 мм со следующим порядком чередования углов армирования: +45, —45, О, О, —45, +45°. Прочность материала оценивается по отношению к следующим нагрузкам: Nx — 17,82 кгс/мм; Ny = 1,782 кгс/мм, Nxy = 0; {М} = 0. Материал армирован симметрично относительно срединной поверхности.

Пример 2. Используя те же параметры, что и в примере 1, рассмотрим материал со следующей структурой армирования: + 45, +45, 0, 0, —45, —45°. Расположение слоев не является симметричным относительно срединной поверхности и смешанные коэффициенты жесткости отличны от нуля, т.е. (размерность элементов матрицы [А ] кгс/мм, матрицы [В ] — кгс, матрицы [D ] кгс • мм).

* Формула .(9) справедлива для пластин с симметрично расположенными относительно срединной плоскости слоями (Прим. ред. пер.).

Б. Слоистые материалы, симметричные относительно срединной плоскости..................... 166

Б. Слоистые материалы, симметричные относительно срединной плоскости

Слоистый материал называют самоуравновешенным, вели все коэффициенты жесткости с индексами 16 и 26 равны нулю. Таким образом, строго говоря, перекрестно-армированный материал с нечетным числом слоев является симметричным относительно срединной плоскости, но не самоуравновешенным. И наоборот — перекрестно-армированный материал с четным числом слоев является симметричным относительно срединной плоскости, но не самоуравновешенным. И наоборот — перекрестно-армированный материал с четным числом слоев является самоуравновешенным,

Трехслойные конструкции обладают высокой жесткостью при малой массе. Такое сочетание свойств достигается путем использования тонких обшивок из высокопрочных и высокомодульных материалов и заполнителя с малой плотностью, который служит для разнесения обшивок относительно срединной плоскости. Этим и достигается эффективное восприятие внешней нагрузки (в этом отношении трехслойная конструкция аналогична двутавровой балке). Однако так же, как и в двутавровой балке, эффект, получаемый в результате разнесения несущих слоев, снижается из-за податливости заполнителя (или стенки) при сдвиге.

Типовая трехслойная пластина (см. рис. 4, а) при одинаковых несущих слоях является, очевидно, симметричной относительно срединной плоскости и при нагружении в плоскости симметрии не испытывает изгиба. Однако в пластинах с открытым заполнителем (см. рис. 4, б), типовых трехслойных панелях с различными