Обыкновенные дифференциальные

До недавнего времени принцип кристаллогеометрического соответствия при нагреве распространялся только на исходные структуры, характеризующиеся общностью ориентировки кристаллов а-фазы (мартенсит, бейнит или видманштетт). В неориентированных структурах (например, структурах отжига) признавался так называемый "нормальный" (диффузионный) механизм образования аустенита (по крайней мере при небольших скоростях нагрева), при котором, как принято считать, принцип кристаллогеометрического соответствия не соблюдается.

В практике термической обработки сталей широко известен способ исправления крупного зерна путем повторения циклов нагрева в аус-тенитную область и последующего охлаждения (например, двукратная, а иногда и трехкратная нормализация, двукратный отжиг и др.). Рациональность такой термической обработки на первый взгляд внушает сомнения, если учесть сформулированное положение об общем характере принципа кристаллогеометрического соответствия при а -> у-превра-щении. Тем не менее измельчение зрена при многократном повторении фазовой перекристаллизации действительно имеет место даже в том случае, когда после каждого нагрева проводится закалка, обеспечивающая получение структур, связанных общностью ориентировки кристаллитов а-фазы в пределах исходного аустенитного зерна (внутризе-ренной текстуры). Такая циклическая обработка сейчас применяется как один из методов получения ультрамелкого зерна [129-131].

этом случае в пределах отдельных фрагментов осуществляется ориентированное превращение, поскольку это является общим принципом фазовых превращений в твердых телах. Однако между собой эти участки уже связаны общностью ориентировки. Металлографически это выражается в получении мелкого аустенитного зерна.

Полученные экспериментальные данные позволяют предложить следующую схему перекристаллизации деформированной стали. При степени деформации меньше критической (pic. 50, схема I ) в исходной матрице сохраняется общность ориентировки кристаллитов, что условно изображено рядом параллельных линий в зернах (рис. 50, I , а, б). В этом случае в условиях медленного нагрева при переходе через нижнюю критическую точку в пределах исходного зерна зарождаются ориентированные центры 7-фазы (рис. 50, I , в), и перекристаллизация осуществляется при полном сохранении взаимных ориентировок. В результате по окончании о;-^-превращения возникает псевдозерно (рис. 50, I , д), состоящее из большого числа мелких кристалликов -уФазь1, связанных общностью ориентировки и полностью воспроизводящих исходную структуру.

Если степень деформации больше критической (рис. 50, схема II), то в процессе деформации Общность расположения кристаллитов а-фазы нарушается (рис. 50, //, б). При медленном нагреве в области субкритических температур начинается рекристаллизация а-фазы, развивающаяся в межкритическом интервале (рис. 50,Я, в). В результате этих процессов а -> -у-превращение осуществляется в нетекстурованной матрице, и образующиеся участки т-фазы уже не связаны общностью ориентировки, хотя в каждом зернышке а-фазы превращение идет ориентированно. С повышением температуры нагрева в межкритическом интервале происходит дополнительная разориентировка кристаллитов вследствие развития рекристаллизационных процессов и в возникших участках 7-фа-зы (рис. 50,Я, г). По окончании фазового превращения формируется мелкозернистая структура (рис. 50, II,д).

Отсюда следует вывод, что присутствие остаточного аустенита не является определяющим фактором при формировании зерна в условиях быстрого нагрева отпущенной стали. Причиной не может быть и нарушение ориентировки кристаллитов а-фазы при скоростном нагреве в субкритическом интервале. Как было показано ранее, длительный высокий отпуск не устраняет упорядоченного расположения кристаллитов а-фазы, и, естественно, последующий нагрев до Ас\ с любой скоростью уже не может внести изменений в их взаимную ориентировку. Следовательно, и для отпущенной, и для неотпущенной стали превращение начинается в матрице, связанной общностью ориентировки кристаллитов а-фазы.

До недавнего времени принцип кристаллогеометрического соответствия при нагреве распространялся только на исходные структуры, характеризующиеся общностью ориентировки кристаллов а-фазы (мартенсит, бейнит или видманштетт). В неориентированных структурах (например, структурах отжига) признавался так называемый "нормальный" (диффузионный) механизм образования аустенита (по крайней мере при небольших скоростях нагрева), при котором, как принято считать, принцип кристаллогеометрического соответствия не соблюдается.

В практике термической обработки сталей широко известен способ исправления крупного зерна путем повторения циклов нагрева в аус-тенитную область и последующего охлаждения (например, двукратная, а иногда и трехкратная нормализация, двукратный отжиг и др.)- Рациональность такой термической обработки на первый взгляд внушает сомнения, если учесть сформулированное положение об общем характере принципа кристаллогеометрического соответствия при а -> у-превра-щении. Тем не менее измельчение зрена при многократном повторении фазовой перекристаллизации действительно имеет место даже в том случае, когда после каждого нагрева проводится закалка, обеспечивающая получение структур, связанных общностью ориентировки кристаллитов а-фазы в пределах исходного аустенитного зерна (внутризе-ренной текстуры). Такая циклическая обработка сейчас применяется как один из методов получения ультрамелкого зерна [ 129 - 131].

этом случае в пределах отдельных фрагментов осуществляется ориентированное превращение, поскольку это является общим принципом фазовых превращений в твердых телах. Однако между собой эти участки уже связаны общностью ориентировки. Металлографически это выражается в получении мелкого аустенитного зерна.

Полученные экспериментальные данные позволяют предложить следующую схему перекристаллизации деформированной стали. При степени деформации меньше критической (рис. 50, схема I ) в исходной матрице сохраняется общность ориентировки кристаллитов, что условно изображено рядом параллельных линий в зернах (рис. 50, I , а, б). В этом случае в условиях медленного нагрева при переходе через нижнюю критическую точку в пределах исходного зерна зарождаются ориентированные центры 7-фазы (рис. 50, I , в), и перекристаллизация осуществляется при полном сохранении взаимных ориентировок. В результате по окончании а->у-превращения возникает псевдозерно (рис. 50, I , д), состоящее из большого числа мелких кристалликов -у-фазы, связанных общностью ориентировки и полностью воспроизводящих исходную структуру.

Если степень деформации больше критической (рис. 50, схема П), то в процессе деформации йбщность расположения кристаллитов а-фазы нарушается (рис. 50,11, б). При медленном нагреве в области субкритических температур начинается рекристаллизация а-фазы, развивающаяся в межкритическом интервале (рис. 50,Я, в). В результате этих процессов а -> •упрев ращение осуществляется в нетексту ров энной матрице, и образующиеся участки -у-фазы уже не связаны общностью ориентировки, хотя в каждом зернышке а-фазы превращение идет ориентированно. С повышением температуры нагрева в межкритическом интервале происходит дополнительная разориентировка кристаллитов вследствие развития рекристаллизационных процессов и в возникших участках у-фа-зы (рис. 50,II, г). По окончании фазового превращения формируется мелкозернистая структура (рис. 50, II, д).

Отсюда следует вывод, что присутствие остаточного аустенита не является определяющим фактором при формировании зерна в условиях быстрого нагрева отпущенной стали. Причиной не может быть и нарушение ориентировки кристаллитов а-фазы при скоростном нагреве в субкритическом интервале. Как было показано ранее, длительный высокий отпуск не устраняет упорядоченного расположения кристаллитов а-фазы, и, естественно, последующий нагрев до Aci с любой скоростью уже не может внести изменений в их взаимную ориентировку. Следовательно, и для отпущенной, и для неотпущенной стали превращение начинается в матрице, связанной общностью ориентировки кристаллитов а-фазы.

в соответствии с условиями (6.38), получим для определения Wi и W2 обыкновенные дифференциальные уравнения:

При изучении динамических процессов в машинах необходим учет инерционных, упругих и диссипативных свойств материалов. Известны два способа учета этих свойств, используемых при составлении расчетных моделей (см. § 5 гл. 1). При первом способе учитывают непрерывное (континуальное) распределение перечисленных свойств. При этом в математические модели, отображающие динамические процессы, включаются дифференциальные уравнения в частных производных, теория которых составляет 'предмет изучения математической физики. При втором способе предполагают, что свойства материалов отображаются дискретно, т. е. имеют точки или сечения концентрации. При этом количество свобод движения системы считают конечным. Математические модели таких систем содержат обыкновенные дифференциальные уравнения. Для составления динамических моделей, являющихся основанием для составления дифференциальных уравнений, необходимо определить приведенные параметры, отображающие свойства материалов. При предположении о дискретном распределении свойств материалов принимают следующие допущения: тела или звенья, наделенные сосредоточенной массой, лишены упругости; упругие или упругодиссипативные связи лишены массы. Приведение реальных машин и машинных агрегатов к условным расчетным схемам неизбежно дает

расчет коэффициента готовности двухфазной системы. При одинаковой производительности устройств (Cj = C2) и безотказном накопителей простои системы возникают либо при отказе выходного устройства, либо при отказе входного устройства и отсутствии запасов в накопителе. При отказе выходного устройства входное продолжает работать, пополняя запасы и создавая благоприятные условия для уменьшения времени ТСП при последующем отказе входного устройства. Для описания математической модели надежности используются линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [145]. Решение системы дифференциальных и алгебраических уравнений позволяет найти явное выражение для коэффициента готовности:

Подставляя выражения (2.28) и (2.29) в дифференциальное уравнение (2.9), получим независимые обыкновенные дифференциальные уравнения для каждой из функций ft (х):

1. Л. С. Понтрягии. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1965.

Аналоговые вычислительные машины (АВМ) с достаточной для инженерной практики точностью (от десятых долей процента до нескольких процентов) решают линейные и нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными и переменными коэффициентами, которые являются математическими моделями исследуемых машин и механизмов. Решение задач на АВМ может производиться как в натуральном, так и в ускоренном (либо замедленном) масштабе времени. Исключительно высокая скорость решения таких задач ставит АВМ вне конкуренции с другими типами вычислительных устройств, включая современные быстродействующие ЦВМ. Подготовка большой и сложной задачи, ее набор и отладка занимают на АВМ значительное время.

94. П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., изд-во «Наука», 1965, 331 с.

72. П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., изд-во «Наука», 1965, стр. 331.

В настоящее время в нелинейной теории точности разработаны общие методы определения ошибок положения (перемещения), скорости и ускорения для плоских и пространственных механизмов с низшими и плоских механизмов с высшими кинематическими парами [1]. В основу этих методов положены возможности ЭЦВМ, позволяющие проводить исследование точности механизмов без преобразования к явному виду уравнений, описывающих их поведение. Иными словами, при применении аппарата нелинейной теории точности не требуется приводить конечные или обыкновенные дифференциальные уравнения к удобному для анализа виду, как это, например, делалось при исследовании точности механизмов в рамках линейной теории [2, 5, 6].

После подстановки выражений (9), (10) в уравнение движения (7) выполняется интегрирование методом Бубнова — Галеркина по срединной поверхности с учетом граничных условий (8) и условия замкнутости для некоторого фиксированного момента времени. В результате находятся следующие обыкновенные дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций времени Д и /а

Обыкновенные дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций на линиях разбиения области должны образовывать замкнутую систему. Для этого задаемся последовательностью Л' линейно-независимых проекционных функций