Обобщенные деформации

Ионные растворы состоят только из положительных и отрицательных ионов, взаимодействующих между собой. Но различные ионы энергетически неравноценны, так как их обобщенные потенциалы, характеризующие напряженность их электрических полей, разнятся между собой. Обобщенный потенциал равен заряду иона, деленному на его радиус:

где Уо— обобщенный потенциал иона; п — валентность иона; г — радиус иона по Г. Гольдшмидту или по Г. Б. Бокию; е — заряд электрона.

1. Обобщенный потенциал (157). 2. Натуральные и ненатуральные системы (164).

В этом параграфе рассматриваются два обобщения, связанные с использованием лагранжева формализма. Первое обобщение получается введением понятия «обобщенный потенциал» и позво-

1. Обобщенный потенциал. Напомним читателю, что обобщенные силы QJ называются потенциальными, если существует функция от обобщенных координат и времени V (q, t) такая, что

Функция V* (q, q, t) называется обобщенным потенциалом. В том случае, когда функция V* не зависит явно от q, так что dV*/dq, = 0, формула (64), очевидно, сводится к (63), обобщенный потенциал обращается в обычный, а обобщенно потенциальные силы — в обычные потенциальные. Из равенства (64) следует, что

Q/ = (*), т. е. что d2V*/dq/dqk = 0, а это означает, что обобщенный потенциал представляет собой линейную функцию относительно обобщенных скоростей, т. е. имеет вид

Если обобщенный потенциал V* стационарен, т. е. не зависит явно от t, то все dAf/dt = 0 и Q/ представимы в виде

и что аналогичные выражения могут быть выписаны для Fy и Рг, т. е. что У*— обобщенный потенциал для лоренцевой силы. Обобщенный лагранжиан для материальной точки (массы т), несущей заряд е и движущейся в поле со скалярным потенциалом Ф и векторным потенциалом А, равен

Пример 2. Покажем теперь, что сумма переносных и корио-лисовых сил инерции всех точек системы всегда имеет обобщенный потенциал.

а обобщенный потенциал V* определяется формулой (74). Уравнения (75) можно переписать в следующем виде:

Коль скоро выбор обобщенных напряжений Q/ произведен, соответствующие обобщенные деформации qt должны быть определены так, чтобы удельная внутренняя работа w(i) напряжений Q/ на деформациях
Отметим также, что в предшествующих рассуждениях обобщенные напряжения и деформации не связаны друг с другом как причина и следствие. Принцип виртуальной работы требует лишь, чтобы обобщенные напряжения были статически допустимыми, а обобщенные деформации — кинематически допустимыми, т. е. чтобы они были получены исходя из кинематически допустимых смещений.

Обобщенные деформации в любой точке конечного элемента всегда связаны с обобщенными перемещениями этой точки дифференциальной зависимостью

Соотношение (4.14) связывает обобщенные деформации в любой точке конечного элемента с узловыми обобщенными перемещениями этого элемента. Так как функции [F^ (^ а, 3)] (t = 1, 2, ..., m) предполагаются известными, то, учитывая соотношение (4.15), можно определить матрицу [В (lt ?а, 8)] простым дифференцированием.

Обобщенные деформации (изменения кривизны и кручение) связаны с прогибом w соотношениями

где {Я<0}, {((). {r} — векторы, под компонентами которых следует понимать их представление через независимые переменные %, «2» "з> 4'i> Ч^- Формулировка условия равновесия в виде (5.28) после выполнения^'интегрирования по частям позволяет получить разрешающие уравнения в перемещениях, а также геометрические и си-ловые'граничные условия на контуре. При решении задачи с помощью МКЭ^выполняется аппроксимация полей перемещений ыь И2) ыа и углов \)i, tyz в пределах элемента, после чего перемещения {^(()} и обобщенные деформации {?(()} представляются в форме {?/(1)} = = [ф«'> ] { (t = 1, 2) и {?<••)} = ffl<0 ] {q} (i == 1, 2, 3), где { "з> углы пово-

Геометрические соотношения связывают обобщенные деформации е, ав, характеризующие растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб и кручение координатной поверхности, углы поворота нормали к координатной поверхности 0, осредненные по толщине стенки деформации поперечного сдвига \у, и перемещения и, v, w точки координатной поверхности в направлении осей а, р, ?

где {Я<0}, {((). {r} — векторы, под компонентами которых следует понимать их представление через независимые переменные %, «2» "з> 4'i> Ч^- Формулировка условия равновесия в виде (5.28) после выполнения^'интегрирования по частям позволяет получить разрешающие уравнения в перемещениях, а также геометрические и си-ловые'граничные условия на контуре. При решении задачи с помощью МКЭ^выполняется аппроксимация полей перемещений ыь И2) ыа и углов \)i, tyz в пределах элемента, после чего перемещения {^(()} и обобщенные деформации {?(()} представляются в форме {?/(1)} = = [ф«'> ] { (t = 1, 2) и {?<••)} = ffl<0 ] {q} (i == 1, 2, 3), где { "з> углы пово-

Наличие названных членов в формулах для Тц крайне нежелательно. Эти формулы, однако, можно упростить, если воспользоваться идеей [ 3.4] о приведении расчета неоднородной оболочки к однородной. Чтобы реализовать намеченное, введем так называемые обобщенные деформации ejy и соответствующие им перемещения и ,•:

В связи с вводом приведенных удельных моментов перейдем к выводу уравнений равновесия и граничных условий. Старые уравнения (2.28) использовать нельзя, их надо пересмотреть и записать с учетом новых обозначений. Для этого внесем в выражение для вариации функционала (2.23) обобщенные деформации е//:

Выражая обобщенные деформации е~ц через функцию F и подставляя вновь найденные зависимости в уравнение совместности деформаций (3,27), приходим к уравнению