Обобщенные напряжения

Если на основании анализа физической сути изучаемого процесса и теории подобия удается получить критерии подобия и комплексные параметры или так называемые обобщенные координаты этого процесса, можно успешно и с высокой степенью точности обобщить результаты различных экспериментов, отвечающих условиям подобия.

остальные звенья механизма получат вполне определенные движения, являющиеся функциями заданного. Если механизм обладает двумя степенями свободы, то необходимо задать одному из звеньев два независимых движения (две обобщенные координаты механизма) относительно стойки или двум звеньям по одному независимому движению относительно стойки и т. д. Например, механизм, показанный на рис. 2.3, как это было выяснено, обладает одной степенью свободы. Следовательно, сообщив одному из его звеньев движение по определенному закону, мы получаем вполне определенные движения всех остальных звеньев этого механизма.

Таким образом, для определенности движения механизма он должен иметь заданными законы движения двух звеньев, т. е. иметь две обобщенные координаты. Вообще говоря, выбор этих двух звеньев может быть произвольным. Например, мы можем задаться законом движения звеньев 2 и Я, т. е. законами изменения углов поворота ср2 и <р// звеньев 2 и Я. Тогда, очевидно, угол поворота фх звена 1

Для определения истинного движения всех механизмов машинного агрегата, очевидно, достаточно знать закон движения звена, выбранного за звено приведения, т. е. определить из уравнения (16.6) или (16.7) обобщенные координаты звена приведения как функции времени.

2°. Для составления выражения кинетической энергии механизма запишем вначале кинетическую энергию /-го звена через обобщенные координаты и обобщенные скорости:

Основным назначением механизма является выполнение необходимых движений, которые описываются посредством его кинема гнческич характеристик. К ним относятся траектории точек, координаты точек и звеньев механизма и прежде всего его обобщенные координаты, перемещения точек п звеньев. п,\ скорости и ускорении. К числу кинематических характеристик относятся также и такие, которые не зависят от закона движения начальных звеньев, а определяются ТОЛЕ,ко строением механизма, размерами его звеньев и в общем случае1 зависят от обобщенных координат. Это функции положения, аналоги скоростей, или передаточные функции, и аналоги ускорений точек и звеньев механизма. .'Знание кинематических характеристик важно также и для динамических расчетов.

где (>,,u; = f3/'c/f?()i и (),/2c=(5r(;/f}(()2 — радиусы приведения скорости точки С к начальным звеньям / и 2, которым приписываются обобщенные координаты.

Применение метода преобразования координат для определения положения звеньев ниже проиллюстрировано на примере кинематической схемы промышленного робота (рис. 3.44). Четыре подвижных звена /, 2, 3, 4 образуют четыре одноподвижные пары, из которых три вращательные и одна поступательная. Число степеней свободы робота равно четырем: W = f>n — 5/?i=6-4 — 5-4=4. Поэтому должны быть заданы четыре обобщенные координаты: относительные углы поворота звеньев фщ = 2\ = ц->(()', ф« =
Составим уравнения движения машинного агрегата. Так как учитываются упругие деформации звеньев передачи, то жесткой кинематической связи между ее входными и выходными характеристиками нет, поскольку на основное движение механизма накладывается колебательный процесс. Следовательно, механизм имеет уже не одну (как при абсолютно жесткой передаче), а две степени свободы, и поэтому для его исследования надо назначить две обобщенные координаты и составить два уравнения движения. Как уже было отмечено, инертность звеньев передачи (из-за ее малости) учитывать не будем.

Системой уравнений (9.8) и (9.10) описывается динамический процесс, протекающий в машинном агрегате при учете упругости звеньев передачи. Неизвестными функциями в этой системе являются обобщенные координаты фл = фл(0 и ср,, = ф„(<).

где Qi — обобщенные координаты; Q, — обобщенные силы; W --число степеней свободы механизма; Т — кинетическая энергия всего механизма.

1.2. Обобщенные напряжения и деформации

1.2. Обобщенные напряжения и деформации

гипотезы Бернулли, за обобщенные напряжения можно принять изгибающий момент Q) и произведение Q2 поперечной силы на высоту h балки. При таком выборе обобщенных напряжений они будут иметь одинаковую размерность.

Обобщенные нагрузки, обобщенные напряжения и их про-изводные связаны друг с другом уравнениями равновесия. Если, например, вторично выбрать обобщенные напряжения для нашей балки так, как это было только что сделано, и использовать для них правило знаков, показанное на рис. 1.1, то уравнения равновесия примут вид

Так как сосредоточенные нагрузки и моменты из рассмотрения исключены, то обобщенные напряжения должны быть

Обобщенные напряжения должны подчиняться, кроме того, статическим ограничениям. Для нашей балки единственное статическое ограничение имеет вид Q) (/) = 0.

Обобщенные напряжения, удовлетворяющие статическим условиям непрерывности и статическим ограничениям, мы назовем статически допустимыми.

где интегрирование распространено на произвольную открытую область конструкции и через W В обозначена работа обобщенных напряжений, действующих на границе В этой области на обобщенных смещениях В. Чтобы выразить входящие в интеграл в правой части (1.6) обобщенные нагрузки через обобщенные напряжения и их производные, мы используем уравнения равновесия; производные от напряжений устраняются путем интегрирования по частям. Искомые выражения для обобщенных деформаций получаются путем сравнения коэффициентов при обобщенных напряжениях в обеих частях полученных равенств.

Отметим также, что в предшествующих рассуждениях обобщенные напряжения и деформации не связаны друг с другом как причина и следствие. Принцип виртуальной работы требует лишь, чтобы обобщенные напряжения были статически допустимыми, а обобщенные деформации — кинематически допустимыми, т. е. чтобы они были получены исходя из кинематически допустимых смещений.

Определяющие уравнения для элементов жестко-идеально-пластических конструкций обычно выражаются через обобщенные напряжения Q/ и соответствующие обобщенные скорости деформаций. Так как в эти уравнения не входят деформации, не возникнет никаких недоразумений при использовании символа q/ для обозначения типичной обобщенной скорости деформаций. Аналогичным образом символ ра будет использован для обозначения типичной обобщенной скорости.

1.2. Обобщенные напряжения и деформации........... 10