Обобщенных перемещениях

Произвольные силы. Рассмотрим уравнения нулевого приближения при произвольных силах, приращения которых линейно зависят от векторов обобщенных перемещений [соотношения (1.99)]. Ограничимся уравнениями в связанных осях [уравнения (1.112) —(1.115)]

В этом случае уравнение нулевого приближения (2.5) зависит от обобщенных перемещений, так как вектор f(0) (полагая, что

Следящие силы. Если решаются уравнения равновесия, записанные в связанной системе координат, то при следящих силах на каждом этапе стержень нагружается силами f)q, fiP(i\ pV, pT, которые от обобщенных перемещений (и/ и О/) не зависят. В этом случае правая часть уравнений равновесия известна. Левые части уравнений для m-го этапа нагружения аналогичны уравнениям первого приближения, т. е. могут быть представлены в таком виде:

Определив критическое значение нагрузки, следует проверить выполнение использованного предположения о малости перемещений и/ точек осевой линии стержня и малости угла поворота 03 связанных осей при нагружении стержня, решив для найденного значения критической нагрузки систему линейных уравнений (1). Если из решения следует, что а/ и §3 малы, то найденное собственное значение краевой задачи является критической нагрузкой, а критическое состояние стержня практически совпадает с его естественным состоянием. Если предположение о малости обобщенных перемещений не выполняется, то надо решать нелинейную систему уравнений равновесия (1), где Хз» и •§зо='б'з» являются неизвестными, с последующим определением критических нагрузок, ф 3.2. Уравнения, характеризующие критическое состояние, совпадают с уравнениями (1) задачи 3.1. Если форма осевой линии стержня в критическом состоянии мало отличается от формы осевой линии стержня в естественном состоянии, то в уравнениях (1) следует положить %з*=1/ро°; Фз»='взо.

В качестве обобщенных перемещений 6Zo(I) возьмем функции, пропорциональные собственным векторным функциям:

В качестве возможных обобщенных перемещений можно взять векторы

етержней, сходящихся в каждый узел. Решение этих-уравнений в некоторых случаях позволяет непосредственно найти моменты, а чаще определяет обобщенные перемещения узлов, через которые затем выражаются моменты. Преимущества этого метода связаны с тем, что при расчете рам неизвестных обобщенных перемещений обычно оказывается меньше, чем неизвестных силовых факторов.

1. Система с конечным числом степеней свободы. Достаточный признак устойчивости. Пусть положение консервативной системы полностью определяется обобщенными перемещениями q\, ..., qtt. Положению равновесия системы отвечает точка <7! = <7ю, • • •, qk = <7*о пространства перемещений; в частности, положение равновесия может быть принято за нулевую точку этого пространства: q\0 = 0, ..., qko = 0. Потенциальная энергия деформации U, потенциал внешних сил V и полная потенциальная энергия П = U + V предполагаются непрерывными функциями обобщенных перемещений. Нагрузка считается одно-параметрической, не зависящей от перемещений системы. В соответствии с этим ее потенциал V допускает представление V = = —pV, где V — силовая функция нагрузки, принятой за единичную, а р — параметр, определяющий уровень нагружения. Тогда полная потенциальная энергия П также будет зависеть от параметра р. В качестве начала отсчета функций U, V и П выбирается либо нулевая точка пространства перемещений, либо положение равновесия системы, что каждый раз будет специально оговариваться. В положении равновесия полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение, т. е. <5П ,. /• 1 i\

Энергия П может быть определенной по знаку лишь в том случае, если ее разложение (18.109) начинается с членов четной степени. В самом деле, пусть, например, Па = 0, но П3 Ф 0. Если для некоторого выбора обобщенных перемещений q\ (i = l, ..., k) П3 > 0, то ввиду нечетности этой функции для перемещений противоположного знака q'l — — q\ (i = 1, . . ., k) П3 < 0. В то же время из того, что разложение (18.109) начинается с членов четной степени, отнюдь не вытекает определенность по знаку энергии П. В предыдущем разделе, например, встречалась квадратичная форма, которая на одних перемещениях была положительной, а на других — отрицательной.

Если положение равновесия принять за нулевую точку в пространстве перемещений и функции ?/2 и f?2 отсчитывать от положения равновесия, то в общем случае эти функции будут иметь вид квадратичных форм от обобщенных перемещений q\, ..., qk, т. е.

некоторых заданных функций vi с неопределенными числовыми коэффициентами qi. Функции vt должны подчиняться следующим двум условиям: 1) каждая из этих функций непрерывна вместе со своей производной и удовлетворяет кинематическим граничным условиям; 2) система всех этих функций линейно независима. В пространстве прогибов стержня функции vi играют роль базисных (координатных) векторов, а коэффициенты qi — роль соответствующих обобщенных перемещений, т. е. координат искомого вектора в данном базисе.

Уравнения равновесия нулевого приближения в декартовой системе координат. Получим уравнения равновесия стержня при малых обобщенных перемещениях щ и ft/ с использованием нелинейных уравнений (1.84) — (1.88). В декартовых осях уравнения (1.84) и (1.85) принимают вид

Система (5.127) — (5.131) представляет наиболее общее решение задачи о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической пружины при малых обобщенных перемещениях (и:„ 0;) для случая, когда главные оси сечения не совпадают с естественными осями (при условии •&io=const).

Работа б Л есть работа внешних (обобщенных) сил, приложенных к конструкции, на возможных обобщенных перемещениях точек приложения этих сил (вызванных возможными деформациями конструкции). На возможных перемещениях внешние силы сохраняют свое значение, поэтому работа каждой из обобщенных сил равна произведению силы, на обобщенное возможное перемещение, т.е.

Матрица [7?] является матрицей реакций, а вектор Qf — вектором реакций рассматриваемого конечного элемента в локальной системе координат О^^з- Нетрудно убедиться, что столбцы мдтрицы [R^] представляют собой обобщенные усилия в узлах конечного элемента, вызываемые единичными обобщенными перемещениями этих узлов при отсутствии внешних нагрузок на конечный элемент, а вектор Q, как это следует из (4.1), является вектором узловых обобщенных усилий, обусловленных внешними поверхностными и массовыми нагрузками, приложенными к рассматриваемому конечному элементу, при нулевых обобщенных перемещениях этого элемента.

При решении задач с помощью МКЭ (в варианте метода перемещений) нужно уметь получать с помощью уравнений равновесия выражения для обобщенных реакций. Получим эти выражения для кольцевого подкрепляющего элемента. Воспользуемся принципом возможных перемещений. Для равновесного состояния шпангоута, нагруженного внешними погонными нагрузками {р}г, совершающими работу на обобщенных перемещениях {Х}г, и приведенными реакциями {t'}r, совершающими работу на обобщенных перемещениях {Х'}г, принцип возможных перемещений запишем в виде

Работу внешних напряжений {а^'}, приложенных на боковой поверхности контура Г, можно представить в виде работы внешних интегральных силовых факторов на обобщенных перемещениях, которые соответствуют выбранной модели деформирования:

Обобщенные модели для рассмотренных конструкций описывают соотношениями, но структуре аналогичными уравнениям (2.6.1) -(2.6.11), поскольку в наблюдаемых обобщенных перемещениях u(f) при испытании конструкции могут быть выделены соответствующие компоненты иц({), «12, «2 (далее время /для кратности записи опущено):

Работа 6Л есть работа внешних (обобщенных) сил, приложенных к конструкции, на возможных обобщенных перемещениях точек приложения этих 'сил (вызванных возмож-Pric 2 ,8 ными деформациями конструкции).

При решении задач с помощью МКЭ (в варианте метода перемещений) нужно уметь получать с помощью уравнений равновесия выражения для обобщенных реакций. Получим эти выражения для кольцевого подкрепляющего элемента. Воспользуемся принципом возможных перемещений. Для равновесного состояния шпангоута, нагруженного внешними погонными нагрузками {р}г, совершающими работу на обобщенных перемещениях {Х}г, и приведенными реакциями {t'}r, совершающими работу на обобщенных перемещениях {Х'}г, принцип возможных перемещений запишем в виде

Работу внешних напряжений {а^'}, приложенных на боковой поверхности контура Г, можно представить в виде работы внешних интегральных силовых факторов на обобщенных перемещениях, которые соответствуют выбранной модели деформирования:

сгвующими на р-й конечный элемент, при нулевых обобщенных перемещениях этого элемента.