Обобщенных скоростей

Эти трудности преодолеваются с помощью так называемых обобщенных переменных — критериев подобия, представляющих собой безразмерные комплексы физических величин, которые отражают совместное влияние совокупности физических величин на явление.

Использование обобщенных переменных позволяет:

Связь между этими переменными однозначна для всех явлений, описываемых данной системой уравнений, если она выражена в полученной таким образом системе обобщенных переменных. Поэтому такие переменные могут рассматриваться как обобщенные параметры уравнений описывающих явления, а также как обобщенные переменные, связь между которыми описывает все явления данного класса в интегральной форме.

Общая система обобщенных переменных, характеризующая рассматриваемую задачу, может быть получена из анализа всех уравнений, описывающих процесс, а также граничные и (для нестационарного процесса) временные условия. Если рассматриваемый гидродинамический процесс неадиабатный, то в общем случае в систему уравнений необходимо включить также уравнения распространения теплоты и соответствующие граничные условия, так как процессы теплопередачи в ряде случаев оказывают существенное влияние на гидродинамику.' Однако в связи с тем, что теплопередача рассматривается во второй части этой книги, уравнения, описы-

* Зависимости, предложенные в работе [111], выражены в других обобщенных переменных. Преобразование проведено авторами книги.

*** Непосредственно это влияние отражается числом подобия [q/(p"r)]/w0, примененным впервые при обобщении данных по теплообмену при кипении в трубах [157, 158, 166].-В работе [157] критерий [q/(p"f)]/Wo получен из рассмотрения системы дифференциальных уравнений, описывающих теплообмен при кипении жидкости в трубах в гидравлической форме. Система обобщенных переменных при этом включает симплекс р'/Р"; следовательно, это число можно вводить также в рассмотрение в виде [ql(p'r)]wu.

Общие критериальные соотношения, характеризующие гидродинамику потока при барботаже пара через жидкость, могут быть установлены из рассмотрения совокупности основных обобщенных переменных, полученных при анализе дифференциальных уравнений движения двухфазного потока, которая (как это следует из гл. 1) имеет следующий вид:

Используя последнее выражение, авторы показали (это предопределило структуру обобщенных переменных), что при р'^>р/Л обе силы — инерционная и гидродинамического сопротивления — пропорционалы квадрату скорости роста пузыря. •

объем предварительных знаний, накопленных при экспериментальном и теоретическом исследовании того или иного явления. Без такого предварительного всестороннего изучения невозможно понять физический механизм явления и сформулировать математическую модель, адекватно отражающую его закономерности.. Рассматриваемый нами процесс теплообмена при кипении еще недостаточно изучен, и, несмотря на огромный опытный материал, до сих пор нет единой точки зрения о наиболее рациональной системе дифференциальных уравнений, описывающей процессы переноса в кипящей жидкости, а также о формулировке граничных условий. В литературе опубликовано несколько основанных на различных предпосылках систем дифференциальных уравнений, каждая из которых, по существу, служит только для установления вида обобщенных переменных и функциональных •связей между ними применительно к задачам о гидродинамике двухфазного потока и о теплообмене при кипении. Одна из таких систем [87] применительно к гидродинамическим процессам изложена в гл. 1. В общем случае в этой системе рассматриваются следующие дифференциальные уравнения:

бинацию трех обобщенных переменных, одна из которых является безразмерным перепадом давления на границе раздела фаз Ар/ (ст/с?) , вторая — относительной величиной этого перепада — Лр/р [36], третья — относительной величиной диаметра пузыря с?//*:

впервые были получены в работе [158]. Число Ks можн.о представить в виде произведения двух обобщенных переменных — числа К и относительной величины перегрева жидкости М/ТН:

При таком определении потенциальных сил обобщенные силы, зависящие от обобщенных скоростей, уже не могли бы быть потенциальными и при их наличии нельзя было бы использовать уравнения Лагранжа в форме (29). Между тем можно определить понятие потенциальной обобщенной силы так, чтобы уравнения Лагранжа в форме (29) оказались пригодными для описания движений некоторых важных систем при наличии сил, зависящих от скоростей.

Условимся теперь называть обобщенные силы обобщенно потенциальными в том случае, когда существует функция V* от обобщенных скоростей q, обобщенных координат q и времени / такая, что

Q/ = (*), т. е. что d2V*/dq/dqk = 0, а это означает, что обобщенный потенциал представляет собой линейную функцию относительно обобщенных скоростей, т. е. имеет вид

где L* — TZ — квадратичная форма относительно обобщенных скоростей q с коэффициентами ay(q, t), L* — Т1 — ^ A/Qj — линейная

Действительно, если мы будем считать L некоторой произвольной функцией от обобщенных координат q, обобщенных скоростей q и, быть может, времени t и подставим эту функцию в уравнения Лагранжа (29), а потом проделаем выкладки, аналогичные тем, которые были проделаны в § 3, то вместо уравнений (44) мы получим уравнения

знать одновременные значения 2п величин — обобщенных координат ql.....qn и обобщенных скоростей с/г.....qn. Поэтому задание точки координатного пространства еще не определяет движения. В этом смысле через каждую точку координатного пространства проходит бесконечное количество траекторий — соответствующие им движения в рассматриваемой точке отличаются величинами обобщенных скоростей. В ряде случаев удобнее поэтому рассматривать движение в пространстве, каждая точка которого определяется заданием 2п чисел: п обобщенных координат <7i. ••-. Цп и п обобщенных скоростей qlt ..., qn. Такое 2п-мерное пространство называется фазовым.

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все q, одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из 4/ отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов,

Диссипативная система. Пусть теперь Q*^0, но зависят лишь от обобщенных скоростей. В этом случае вблизи положения равновесия

В случае ненатуральной системы неравенство (11) выполнено в силу ограничений, накладываемых на выбор лагранжиана L. В силу (11) система равенств (9) может быть всегда разрешена относительно обобщенных скоростей, т. е. представлена в виде

Совокупность обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени называют лагранжевыми переменными некоторой системы, а совокупность для этой же системы обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени — ее гамилыпоновыми переменными. Задания движения системы в лагранжевых и гамиль-тоновых переменных эквивалентны в том смысле, что всегда существует взаимно однозначный переход от одной системы переменных к другой.

является однородным многочленом второй степени от обобщенных скоростей. •