Обобщенными перемещениями

Второй член выражения (2.86) учитывает взаимную корреляцию между отдельными обобщенными координатами. Для систем с малым затуханием взаимной корреляцией обычно можно пренебречь [5, 27]. Для нагрузок, корреляционная функция которых описывается выражением (2.10) вместо (2,86) с учетом пренебрежения взаимной корреляцией между формами колебаний, можно получить [27]

Рис. 2.13. Схема механизма шарнирного пяти-звенника с обобщенными координатами фг и ф„

Рис. 2.14. Схема механизма шарнирного вось-мизвенника с обобщенными координатами Ф2, Фг и Ф4

2°. Положения и скорости звеньев этого механизма определяются двумя обобщенными координатами, cpt и ср4. За начало координат примем точку А. Тогда положение точки С определяется радиусом-вектором гс:

двумя обобщенными координатами, (pt и <р4. Массы таких звеньев могут входить в любое из выражений У11( У14, У44, причем выражение для J14 целиком состоит из слагаемых, в которые входят массы только этого типа звеньев.

Если окажется, что в механизме с двумя степенями свободы нет ни одного звена, положение которого определяется двумя обобщенными координатами, то величина У]4 будет равна нулю, и такой механизм распадется на два, каждый из которых имеет одну степень свободы, и между этими механизмами имеется какая-либо силовая связь. К таким механизмам относятся механизмы, у которых кинематические цепи разделены упругими муфтами, упругими валами, ременными передачами, фрикционными соединениями и др.

Числом степеней свободы механизма является число независимых параметров, однозначно определяющих положения всех звеньев механизма относительно стойки, например угловые и линейные координаты звеньев. Их называют обобщенными координатами механизма. Звено, которому приписывается одна или несколько обобщенных координат механизма, называют начальным. В механизме с одной степенью свободы — одно начальное звено, а за обобщенную принимают его угловую координату (если звено вращается) или линейную (если звено движется прямолинейно).

Динамика механизмов является разделом прикладной механики, в котором изучается движение механизмов с учетом действующих на них сил. В этом разделе устанавливаются общие зависимости между кинематическими параметрами механизма (его обобщенными координатами, скоростями и ускорениями), массами его звеньев и действующими на него силами, выражающиеся дифференциальными уравнениями. Пользуясь этими уравнениями, можно решать две основные задачи динамики механизмов. Первая задача сводится к тому, что по заданному аналитически или графически закону движения механизма 1 требуется определить силы, действующие на механизм. Вторая задача заключается в том, что по заданным силам требуется определить закон движения механизма.

Любой элементарный дифференциал с W—-2, который нельзя разложить на более простые самостоятельные механизмы (рис. 15.8), в отличие от редуктора имеет три наружных вала А, В, С. Поэтому положение каждого звена в таком механизме определяется двумя независимыми обобщенными координатами (углами поворота двух валов), т.е. <)г:==/('1)л. Ф/Л- Тогда угловая скорость ведомого звена согласно формуле (3.1) будет

быть введены в рассмотрение три независимые величины; мы назовем их обобщенными координатами точки и обозначим через qlt <72 и <73. Так, например, в декартовых координатах ql = x, qz — y, q3 = г, в цилиндрических координатах <7i = Р, <72 = ^> Чз = ф. а в сферических координатах <7i = p, <72 = Ф. <7з —'Ф и т- Д-

координатами, а их производные по времени — обобщенными скоростями. В соответствии с этой терминологией для системы материальных точек, не стесненных какими-либо связями, обобщенными координатами служат 3jV величин, заданных в любой из рассмотренных ранее систем координат: декартовой, цилиндрической, сферической и т. д. В этом смысле «новые координаты» <7/(/=1, .... п), о которых шла речь в § 1 и 2 этой главы, являются обобщенными координатами. Подобным же образом

иметь кинематические соотношения, устанавливающие связь между обобщенными перемещениями и их первыми производными по времени.

В этом методе используют соотношения, связывающие моменты, действующие по концам элементов, с обобщенными перемещениями (поворотами) соответствующих узлов. Разрешающими уравнениями являются уравнения моментов в узлах, они устанавливают равенство нулю суммы моментов, действующих на концах

мированного состояния. На рис. 15.9 линия /// и элемент 1" представляют собой ось балки и элемент ее после указанной возможной (кинематически допустимой) вариации перемещений. Возможную вариацию перемещений, соответствующую внешним силам, обозначаем символом 8<7; = 8Д;. В случае пространственной стержневой системы в результате вариации перемещений имеет место вариация всех шести параметров деформации бхл, 8яу, 6хг, бу*, б^у и 6ег. Так же как и сами параметры х*, . . . , ег, вариации этих параметров являются обобщенными перемещениями, соответствующими внутренним обобщенным силам Мх, ... , N. При кинематически возможном варьировании перемещений около равновесного состояния не принимаем во внимание изменение ни внешних сил, ни внутренних усилий, поскольку работа, производимая ими на возможных перемещениях, оказывается малой более высокого порядка, чем работа самих внешних сил или внутренних усилий.

Что касается действительного температурного состояния, то в нем нас будут интересовать такие параметры деформации, которые являются обобщенными перемещениями, соответствующими внутренним усилиям как обобщенным силам. Будем считать, что стержневая система состоит из призматических стержней, приращения температуры в каждом стержне свои собственные, и при этом приращение температуры в поперечном сечении подчиняется закону плоскости (рис. 15.25). При таком условии поперечные сечения остаются плоскими и после температурной деформации.

1. Система с конечным числом степеней свободы. Достаточный признак устойчивости. Пусть положение консервативной системы полностью определяется обобщенными перемещениями q\, ..., qtt. Положению равновесия системы отвечает точка <7! = <7ю, • • •, qk = <7*о пространства перемещений; в частности, положение равновесия может быть принято за нулевую точку этого пространства: q\0 = 0, ..., qko = 0. Потенциальная энергия деформации U, потенциал внешних сил V и полная потенциальная энергия П = U + V предполагаются непрерывными функциями обобщенных перемещений. Нагрузка считается одно-параметрической, не зависящей от перемещений системы. В соответствии с этим ее потенциал V допускает представление V = = —pV, где V — силовая функция нагрузки, принятой за единичную, а р — параметр, определяющий уровень нагружения. Тогда полная потенциальная энергия П также будет зависеть от параметра р. В качестве начала отсчета функций U, V и П выбирается либо нулевая точка пространства перемещений, либо положение равновесия системы, что каждый раз будет специально оговариваться. В положении равновесия полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение, т. е. <5П ,. /• 1 i\

Однако тензор с компонентами (2.2) не нашел удачного применения при описании явлений пластического или вязкопластиче-ского деформирования. Причина состоит в том, что компоненты е^ не являются теми обобщенными перемещениями, которые соответствовали бы истинным напряжениям, рассматриваемым как некоторые обобщенные силы, заданные в системе жестко связанных друг с другом координатных осей. Это соответствие заключается в том, что произведение каждой обобщенной силы на вариацию отвечающего ей обобщенного перемещения должно являться вариацией работы этой силы.

узловыми элементами, с обобщенными перемещениями UV и ?/' этих точек в локальной системе координат O'j^^is-

связывающую обобщенные реактивные силы R^ и Rl1, действующие в точках контакта стержневого элемента с узловыми, с обобщенными перемещениями U1^ и U'^ этих точек.

узловыми элементами, с обобщенными перемещениями Щ и Щ с учетом наложенного условия rk ~ 0.

связывающие реакции /?«' и Ж' с обобщенными перемещениями

Обозначим через f/fg, Ufa, ••-, Upm\ векторы обобщенных перемещений узлов конечного элемента с порядковым номером р, предположив, что положительные направления компонент этих векторов совпадают с положительными направлениями локальных осей О?д, (k = 1, 2, 3). Под обобщенными перемещениями понимаются как линейные, так и угловые перемещения.