Обобщенным координатам

= Tft. ft-i и«пи, и поэтому их можно называть еще обобщенными скоростями и ускорениями, или их аналогами).

координатами, а их производные по времени — обобщенными скоростями. В соответствии с этой терминологией для системы материальных точек, не стесненных какими-либо связями, обобщенными координатами служат 3jV величин, заданных в любой из рассмотренных ранее систем координат: декартовой, цилиндрической, сферической и т. д. В этом смысле «новые координаты» <7/(/=1, .... п), о которых шла речь в § 1 и 2 этой главы, являются обобщенными координатами. Подобным же образом

Полученные уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода. Производные от обобщенных координат д\, qz, •.., qs называются обобщенными скоростями. Уравнения Лагранжа второго рода не содержат реакций идеальных связей, что делает их удобными для практического использования. Таким образом, в общем случае каких угодно активных сил и при наличии идеальных связей движение материальной системы определяется s уравнениями Лагранжа второго рода (3.29).

11°. Переходим к рассмотрению вопроса об определении угловых скоростей и ускорений звеньев механизма (рис. 8.17). При определении этих векторных величин считается известным движение каждого звена k по отношению к предыдущему k — I . В рассматриваемой нами цепи (рис. 8.17) эти движения определяют производные относительных угловых скоростей и ускорений ф^.ь..! и фл,ц_1 (k— I, 2 ..... 6) (это производные по времени от обобщенных координат qh = — Ф&, ft-i Цепи, и поэтому их можно называть еще обобщенными скоростями и ускорениями, или их аналогами).

называются соответственно обобщенными скоростями и обобщенными ускорениями.

Движение механической системы с n = k степенями свободы, как уже отмечалось, определяется s = 2k переменными — обобщенными координатами и обобщенными скоростями, для обозначения которых применим однотипную символику: у\, у2, ... ,,., ys, имея в виду, что все yt (i — \, 2, ..., 2k) являются фазовыми координатами, подчиняющимися, в общем случае нелинейных систем, следующим уравнениям:

щенными координатами qlt qz и двумя обобщенными скоростями qlt q\, будет соответствовать вектору ab', который может быть изображен составляющей ab в плоскости П (рис. 43, б). Если происходит движение системы при определенных начальных данных, то

При проведении исследования вибраций, обусловленных работой механизмов, принято рассматривать механизмы, виброизолирующие и фундаментные конструкции как активные механические системы с конечным числом участков контакта (рис. 1). Колебания каждого участка контакта характеризуются шестью обобщенными скоростями, обусловленными действием шести обобщенных сил. Гармонические колебательные процессы в таких системах описываются следующими матричными уравнениями:

Рассмотрена активная механическая система с конечным числом участков контакта, состоящая из виброактивного механизма, изолирующих и фундаментных конструкций. Колебания каждого участка контакта характеризуются шестью обобщенными скоростями, обусловленными действием шести обобщенных сил. Для случая, когда нет необходимости знания всех особенностей взаимодействия возникающих в рабочих узлах усилий с конструкциями механизмов, источники вибрации характеризуются по силам, приведенным к участкам контакта механизма с опорами, и сопротивлением механизма по отношению к силам, действующим в этих участках.

Число независимых перемещений системы, допускаемых связями, называется числом степеней свободы системы. Независимые величины <7ь <72, ... qn, определяющие , положение системы, называются обобщенными координатами (линейное перемещение, угловое перемещение). Производные этих величин по времени qlt дг ..... qn называются обобщенными скоростями.

Функцию F рассеивания энергии получим, заменив в выражении V обобщенные координаты qj обобщенными скоростями qj, величины t\k их производными

число степеней свободы увеличится до s + г. К старым обобщенным координатам q\, qz, q$, . . . , qs прибавим г новых qs+i, qs+2, . . . , qs+r и будем иметь в виду, что при qs+ll = 0 (ц— 1, 2, ..., г) новая материальная система совпадает с исходной системой. Мы можем представить переход от новой системы к исходной как наложение на новую систему г новых связей вида

Переходя к обобщенным координатам, получим Лс-^-(ф-ф sin ФИАТ».,

частными производными от которой по обобщенным координатам, взятыми с обратным знаком, являются эти силы, т. е.

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был произволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат QI, qz, . . • , qs перейти к новым обобщенным координатам q'\, q'z, . . ., q's по формулам

К обобщенным координатам относят расстояния между точками звеньев, их линейные и угловые координаты относительно неподвижной координатной системы, связанной с неподвижным звеном кинематической цепи — стойкой, которое всегда есть в кинематической цепи реального устройства. Для определения положения звеньев кинематической цепи (рис. 1.5) в системе Охуг, связанной со звеном 0, необходимо при известных линейных и угловых размерах звеньев знать значения четырех обобщенных координат:

Связь между указанными величинами может быть установлена с помощью частных передаточных отношений. Нахождение последних связано с рассмотрением двух различных механизмов с одной степенью свободы, которые получаются из заданной кинематической- цепи, если в ней изменяемой считать только одну (каждый раз иную) обобщенную координату. В полученных таким образом механизмах с одной степенью свободы необходимо определить передаточные отношения колес 1' и 2' по соответствующим обобщенным координатам,

иооощенные координаты механизма выражаются соответствующими расстояниями между точками либо величинами углов между двумя направлениями. Обобщенным координатам можно давать произвольные значения (они свободны и независимы), но заданные их значения вполне определяют положение системы материальных

1*. Задачи о скоростях и ускорениях механизма с низшими парами решаются путем дифференцирования уравнений замкнутости многоугольников схемы. Так как законы изменения обобщенных координат предварительно не известны, то мы будем дифференцировать эти уравнения не по времени, а по обобщенным координатам. В таком случае мы будем получать не скорости и ускорения, а производные переменных параметров многоугольника по обобщенной координате. Эти производные обозначаются далее так:

гладкость, т. е. непрерывность как самой функции, так и ее производных по обобщенным координатам и по параметру времени. Это означает, что функции перемещений звеньев на всей области существования однозначны.

Аналогично вводятся понятия о передаточных функциях второго порядка П" (ф) = d2U (q>)/d(p2 и более высоких порядков. Выше приведены определения передаточных функций для механизмов с одним входным звеном или с одной обобщенной координатой. При наличии нескольких входных звеньев передаточные функции будут функциями нескольких обобщенных координат, причем передаточные функции первого порядка и более высоких порядков по отдельным обобщенным координатам представляются частными производными.

Таким образом, система (8.24) после перехода к новым обобщенным координатам (8.25) распалась на два независимых уравнения (8.26) и (8.27), каждое из которых описывает движение с одной свободной координатой (и, или v2 соответственно). Преобразование координат, подобное выполненному выше, возможно при любом числе степеней свободы (если только трение отсутствует). Такие обобщенные координаты называются нормальными, а соответствующие им формы колебаний — нормальными формами. Особенность этих форм состоит в том, что колебания по каждой нормальной форме совершаются совершенно независимо от колебаний других форм.