Одномерного уравнения

В пятой главе рассматриваются методы реализации простейшей модели конвективного теплообмена, заключающейся в решении уравнения энергии при заданном поле скоростей. Обсуждаются особенности конечно-разностной аппроксимации конвективных членов в уравнении энергии. Подробно разбираются численные схемы для двух часто встречающихся на практике задач: расчет двумерного стационарного температурного поля жидкости при течении в канале и совместный расчет одномерного температурного поля стенки и жидкости.

Рассмотрим задачу расчета нестационарного одномерного температурного поля в неограниченной пластине толщиной /. В пластине распределен источник теплоты, имеющий объемную плотность мощности qv(x). Поверхность пластины х • 0 теплоизолирована, а на поверхности х ---= I происходит теплообмен со средой по закону Ньютона. Начальное распределение температуры равномерное, и эта температура отлична от температуры среды. При такой постановке задачи уравнение теплопроводности и краевые условия имеют вид 1311

Стационарные методы позволяют экспериментально определить только теплопроводность. Несмотря на свою методическую простоту, практическое осуществление методов стационарной теплопроводности сталкивается с трудностями создания одномерного температурного поля в исследуемых образцах и учета тепловых потерь.

Плотность теплового потока по закону Фурье для одномерного температурного поля равна

' При стационарных процессах конвективного теплообмена <3?/<Эт=0. Уравнение (4-10) еще более упрощается,.если температура изменяется только по одной или двум координатам. В случае стационарного одномерного температурного поля все производные — у по т, у и z равны нулю. .

•Сравнительные расчеты по формулам, полученным из условий одномерного температурного поля с учетом ра-стечки тепла, показали, что разница в конечных результатах незначительна и лежит в пределах точности ра-^ечегов — подобного^^рода: Практически несущественная" разница обусловлена тем, что .разность теператур на обеих сторонах плавника (обогреваемой и необогреваемой) составляет обычно несколько градусов благодаря хорошей изоляции со стороны необогреваемой поверхности и небольшим потерям тепла во внешнюю среду [Л. 14]. Поэтому температура в каждом сечении плавника по его толщине может быть принята постоянной, а температурное поле — одномерным. Прн этих допущениях решение задачи упрощается и расчет плавников принимает простую форму.

При распространении тепла в твердом теле величина плотности теплового потока может быть определена на основе гипотезы Фурье. Для одномерного температурного поля имеем:

го теплообмена ав^\аг. Начало координат поместим на левую поверхность стенки. Для одномерного температурного поля задача математически формулируется следующим образом: при 00

Для одномерного температурного поля, когда температура зависит только от одной координаты, решение дифференциального уравнения -(2-5-1) при постоянном коэффициенте теплопроводности (К = const) имеет вид:

Метод плоского источника постоянной мощности основан на закономерности развития одномерного температурного поля в полуограниченном теле при нагревании его постоянным тепловым потоком [101].

Метод одномерного температурного поля применяется для расчета распределения температуры по длине обмоток и других частей электрических машин. Основан метод на приведении трех- и двухмерных температурных полей к одномерному.

Математическая сущность механических законов сохранения. Рассмот-рим пример одномерного уравнения Ньютона, которое запишем в виде двух уравнений:

Тепловые потоки QT (xn + Л/2) и QT (х„ — h/2) аппроксимируются так же, как и в случае одномерного уравнения теплопроводности, см. (3.44):

Разностные уравнения (5.27) — (5.31) связывают значения сеточной функции в двух соседних сечениях по оси z с номерами (т — 1) и т. При известных значениях un,m-i(n — Ь •••> Nr) эти уравнения образуют систему Nz уравнений относительно ЛГГ значений ип,т сеточной функции в сечении 2 = zm. Система уравнений имеет трехдиагональную матрицу и может быть решена методом прогонки, которая проводится «поперек трубы». Таким образом, построенная разностная схема аналогична неявной схеме для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, с тем отли-чием, что роль временных слоев играют поперечные сечения zm. В первом сечении (т = 1) температуры задаются граничным условием (5.32), а далее последовательно для каждого сечения решается методом прогонки система разностных уравнений (5.27) — (5.31) относительно неизвестных ип, т(п = 1, ..., Nr) и определяются температуры в данном сечении.

Решение одномерного уравнения переноса проводится либо на основе комбинации упомянутых выше приближенных и численных методов, либо на основе численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся при введе-

Идея Б. Г. Галеркина заключается в соблюдении условия ортогональности уравнения (1.27) при подстановке в него приближенного выражения (1.29) с координатными функциями гз„. Координатные функции, от которых во многом зависит точность решения, выбираем, учитывая (1.28), а также используя решение соответствующего одномерного уравнения, чтобы добиться наибольшего приближения к физической сущности задачи.

Такое допущение вполне правомерно, когда глубина прогрева или расстояние по нормали к поверхности, на котором срабатывается перепад температур Tw—T0, существенно меньше расстояния вдоль поверхности, на котором происходит такое же изменение температуры. Очевидно, что подобное предположение несправедливо при резком изменении теплового потока qQ вдоль поверхности тела или при достаточно высоких значениях коэффициента теплопроводности материала К. На практике бывает достаточно, получив решение одномерного уравнения теплопроводности в нескольких точках тела, сопоставить градиент температуры по нормали к поверхности (дТ/ду)у=о с изменением температуры вдоль нее (dTw/dx), чтобы убедиться, насколько применима в данном случае гипотеза одномерности прогрева.

одномерного уравнения теплопроводности d2t/dt/2 = Q (без конвективных членов) приходит к утверждению, что в первом приближении изменение температуры в слое насыщенного газа носит линейный характер. В действительности линейная зависимость не соблюдается, так как в пограничном слое скорость газа не равна нулю. А. Г. Амелиным для движущегося пограничного слоя вводится поправка на нелинейность 6v = (D/a)n, n< 1, которая для газов и паров, особенно при малых числах Re, характерных для рассматриваемых условий, стремится к единице. Поэтому можно удовлетвориться линейной зависимостью t = f(y) и в этом случае. К такому же выводу мы пришли выше в § 1-7, исходя из специфики тепло- и массообмена в бинарной смеси.

Авторы двухпараметрической модели [33], постулируя вихревое движение, фактически задаются определенным распределением скоростей частиц, соответствующим условию div w4 = 0. Расчеты двухмерной задачи по этой модели показывают, что при больших отношениях длины аппарата к высоте слоя (по-видимому, больше 3- 4) поле усредненных по высоте слоя концентраций С^ хорошо описывается решением одномерного уравнения (2.7), если подставить в него вместо D эффективный коэффициент диффузии Д,ф. При этом все сложности реального процесса приходится учитывать соответствующим подбором величины Цф. По данным разных авторов эффективный коэффициент диффузии меняется от 0,1 (а строго говоря, от нуля для неподвижного слоя) до 103 смг/с. Сильнее всего Цф возрастает с увеличением скорости псевдоожижения сверх WK и с увеличением размеров аппарата, поскольку при этом возрастают масштабы и скорость циркуляционных движений. Влияние остальных факторов неоднозначно и их вряд ли стоит учитывать в рамках столь грубой модели. Понятно, что ее можно использовать лишь для оценочных расчетов.

и его можно определить из решения одномерного уравнения нестационарной теплопроводности, которое для случая постоянных физических свойств запишем в виде

ное расстояние от стенки т? = V ? /32" Rec определялось по значениям р и ц при Тс. Расчет обеспечивал сходимость найденной интегрированием среднемассовой энтальпии, полученной решением одномерного уравнения энергии. Было показано, что из-за высокой температуропроводности газа влияние нестационарной теплопроводности незначительно и существенно меньше, чем по экспериментальным данным (рис. 1.3) . Аналогичные результаты дало численное решение данной задачи конечно-разностным методом при Ren = 104 ...»3 • 104, выполненное на БЭСМ-6. Для жидкостей из-за более низкой температуропроводности этот эффект более значителен, однако экспериментальные данные также расходятся с результатами расчета (рис. 1.4) [24].

Для квазистационарного течения градиент давления определяется из одномерного уравнения движения в предположении