Однородных граничных

переходной вероятностью. При очень широких условиях переходные вероятности марковского процесса удовлетворяют системе линейных однородных дифференциальных уравнений. Типичным примером таких марковских процессов является ветвящийся процесс.

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Линейное однородное дифференциальное уравнение порядка п с постоянными коэффициентами имеет вид

Выражения а через % можно рассматривать как решение однородных дифференциальных уравнений равновесия, поскольку при подстановке этих выражений в однородные дифференциальные уравнения равновесия последние обращаются в тождества. Аналогично и формулы (уравнения) Коши, в которых компоненты деформаций выражаются через составляющие перемещения, могут рассматриваться как решение дифференциальных уравнений совместности деформаций Сен-Венана (поскольку подстановка выражений для компонентов деформаций согласно формулам Коши в последние уравнения обращает их в тождества).

Поскольку решение обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений неоднократно комментировалось, приведем все формулы без пояснений:

Получили систему однородных дифференциальных уравнений восьмого порядка относительно функции V'i и V2.

Как известно, решение системы однородных дифференциальных уравнений (20.6) с постоянной матрицей 2ft представляется в виде [86]

Рассмотрим следующую систему однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

Частотное уравнение системы в рассматриваемом случае отличается от характеристического уравнения системы дифференциальных уравнений лишь знаками коэффициентов. Следовательно, общее решение системы однородных дифференциальных уравнений свободных колебаний (45) для любой из обобщенных координат <7i будет иметь следующий вид:

Тогда, разыскивая решение соответствующей системы однородных дифференциальных уравнений в виде:

Тогда решение однородных дифференциальных уравнений, соответствующих системе (49), примет такой вид:

Отметим, что в данном случае уравнение (II 1.15) не совпадает с частотным уравнением для системы однородных дифференциальных уравнений, соответствующих (III.30). Упомянутое частотное уравнение—это уравнение (11.33) и оно имеет для г = X2 все четыре корня положительных. Уравнение (III. 15) совпадает с уравнением, определяющим критические скорости, т. е. только такие корни частотного уравнения (11.33), которые равны угловой скорости вращения ротора.

Выражения для X „, Х„ (Л) и /V я определяются по виду однородных граничных условий, заданных при X = 0 и Х= 1, и приведены для всех возможных случаев задания этих условий в табл. 1.13.

о неоднородных граничных условий, заданных при Z = 0 и Z - D COOTS*- r-

2. По виду заданных однородных граничных условий [т.е. noahi* ,, параметра k в условиях (1,25) мз табп. 1.13 или 1.16 найти ,-:оСч, Ч.»«, >• числа, собственные функции и квадрат нормы собственных функци При этом для линейно поляризующейся и пи окрашенной noeepxHot значение k должно быть принято разным b j/i0 ыш р /,'//"/,. cuoiat ,» г в*. но,, где РП •- удельное переходное сояротивйение покрытия, • электропроводимость коррозионной среды, /0 - характерный

2, При однородных граничных условиях на поверхностях г = а иг =Ь (в этом случае принимается, что 0<а <Ь<°°) выражение для потенциала имеет вид:

где X „ =7я/1п (Ь/а ), уп — числа, определяемые по табл. П 1,./?я (г) и Nn — собственные функции и их норма, указанные в табл. П 1 для всех возможных случаев задания однородных граничных условий первого,

3. При однородных граничных условиях 1-го или 2-го рода, заданных

при однородных граничных уело- _____

Выпишем четыре однородных граничных условия задачи 1) v (0) = 0; 2) v" (0) = 0; 3) -v (I) = 0; 4) v' (I) = 0. Подчиняя решение (3.7) этим граничным условиям, приходим к системе линейных однородных уравнений

Кроме того, из условия (3.36) находим возможные варианты однородных граничных условий задачи при х = О и х = I:

В главе дана постановка задачи устойчивости тонкой упругой пластины, приведен подробный вывод основного линеаризованного уравнения теории устойчивости пластин и пояснены некоторые варианты однородных граничных условий этого уравнения. Рассмотрены точные аналитические решения основного уравнения для прямоугольных и круглых пластин и приближенное интегрирование этого уравнения методом Галеркина. Эти классические решения задач устойчивости пластин получены в конце XIX — начале XX в., однако они не утратили практического значения. Их результаты широко используются в инженерных расчетах и служат эталоном для отработки и апробирования всех современных приближенных методов расчета пластин на устойчивость.

В задачах устойчивости однородная система уравнений должна быть подчинена однородным граничным условиям. Так, если на торце замкнутой цилиндрической оболочки задано w — О, то остальные три однородных граничных условия на этом торце будут: