Однородных координат

Амплитудный метод применим в случае измерения однородных изотропных сред с постоянными рассеивающими свойствами поверхности и основан на измерении ослабления прошедшей сквозь материал электромагнитной волны.

напряжений. Прочность конструкций, изготовленных из однородных изотропных материалов, при простых схемах нагружения, таких как растяжение, сжатие и кручение, можно оценить, сравнивая вычисленные напряжения с пределами текучести или прочности материалов, которые определяются из опытов на растяжение, сжатие и кручение. Для более сложных напряженных состояний и неоднородных ортотропных материалов, с которыми наиболее часто приходится встречаться при проектировании и расчете конструкций из композиционных материалов, практически невозможно поставить эксперимент и моделировать это состояние. Для оценки прочности конструкции необходимо использовать критерии разрушения или поверхности разрушения, основанные на предсказании поведения материала при реализуемых условиях нагружения. Критерий разрушения, или поверхнрсть разрушения, представляет собой аналитическую интерпретацию в пространстве напряжений границы допустимых напряженных состояний, в пределах которой материал может работать при заданных условиях без разрушения.

Рис. 1. Условие максимальных касательных напряжений для изотропных однородных пластичных материалов, находящихся в условиях плоского напряженного состояния (критерий пластичности Треска); стх и аа — главные напряжения

где k — предел текучести при^чистом сдвиге *. Для однородных, изотропных пластичных материалов k обычно принимают равным касательным напряжениям, соответствующим пределам текучести при одноосном растяжении или сжатии, т. е. k = о*т/2. Для плоского напряженного состояния условие (1) принимает вид

Вторым распространенным критерием пластичности, применяемым для изотропных, однородных пластичных материалов, является теория энергии формоизменения, связанная с именем Мизеса [6]: общая упругая энергия материала складывается из

энергии изменения объема и энергии изменения формы, которая определяется сдвигом материала. Если предположить, что основное влияние на переход материала в пластическое состояние оказывает максимальное касательное напряжение, то наложение гидростатических напряжений не должно приводить к изменению состояния однородных изотропных материалов. Действительно, изменение напряженного состояния при сохранении максимальных касательных напряжений приводит лишь- к смещению круга Мора по оси напряжений. Для сложного напряженного состояния критерий пластичности можно записать, если приравнять энергию формоизменения при одноосном растяжении, равную 2a^/i2G, энергии формоизменения при общем случае напряженного состояния, равной (1/12?) [(o-j — 02)а -f (о-а — 03)2 -f (0-3 — оч)21-В результате получим

Различие в методах анализа напряженного состояния однородных изотропных и неоднородных (слоистых) композиционных материалов существенным образом проявляется при реализации критерия разрушения. Для изотропных материалов, прочностные свойства которых не зависят от направления, эта реализация значительно упрощается благодаря существованию системы координат, в которой только главные напряжения отличны от нуля. Что касается композиционных материалов, то их прочностные свойства задаются во вполне определенной системе координат, оси которой совпадают с осями ортотропии, и в этой системе необ-

1, 2, 3 — главные оси материала и главные напряжения в разделе, посвященном критериям пластичности однородных изотропных материалов!

Другой вариант уточненной теории пластин был построен Ян-гом с соавторами [195], которые ввели постоянную по толщине деформацию сдвига, а разрешающие уравнения получили в результате интегрирования уравнений движения по толщине. Эту работу можно считать обобщением исследований Генки [72] в области статики и Миндлина [102] в области динамики однородных изотропных пластин на слоистые анизотропные материалы. При интегрировании уравнений движения Янг и др. ввели коэффициент формы, позволяющий привести в соответствие определяемые частоты с результатами, получаемыми по трехмерной теории. Отметим, что в рассматриваемой теории фигурируют три типа инерционных членов: *

считать обобщением теории Лан-гхаара и Борези [163], предложенной для однородных изотропных оболочек и распространенной Миллером на однородный анизотропный материал. Она представляется первым обобщением теории Лангхаара — Борези на случай многослойного материала и

При расчете оболочек, состоящих из изотропного слоя (например, металлического) и наружного слоя, образованного намоткой композиционного материала, необходимо учитывать смешанные коэффициенты жесткости, появляющиеся вследствие несимметричности материала по толщине. Число работ, в которых учитывается этот эффект, сравнительно невелико. Мукоедом [192] получена комплексная форма основных уравнений, аналогичная предложенной Новожиловым [206 ] для однородных изотропных оболочек. Следует отметить работы Василенко [294], Григоренко и Василенко [105], в которых описано исследование неосесим-метричного нагружения, Бревера [49], где расчетная модель

Условимся, что Tj=T2=l. Это упрощает переход от однородных координат к обычным и обратно. Тогда при однородных координатах положение точки Д в соответствующих системах записывается так:

точки относительно некоторой четырехмерной системы координат. Для составления матрицы преобразования однородных координат необходимо составить уравнения преобразования однородных координат, которые могут быть построены на основе преобразования систем декартовых координат в трехмерном пространстве. Пусть положение начала первой декартовой системы координат определяется во второй системе координат а, Ь, с, а относительный поворот координатных осей — направляющими косинусами ты (k, I = 1, 2, 3). Как известно, преобразование координат какой-либо точки из первой системы X^Y^Z^ во вторую систему XYZ в общем случае относительного движения систем координат определяется уравнениями вида:

Делая замену переменных в системе (3.2) в соответствии с (3.3) и учетом (3.4), получим систему уравнений преобразования однородных координат точки при переходе от одной системы к другой:

Совокупность четырех чисел /, х, у, г представляет собой однородные координаты точки. Нетрудно видеть, что однородные координаты определяют положение точки относительно некоторой четырехмерной системы координат. Для дальнейших приложений однородных координат (см. гл. 19 и 21) необходимо установить уравнения их преобразования, которые могут быть получены на основе преобразования систем декартовых координат в трехмерном пространстве. При условии, что положение начала первой системы определяется во второй системе координатами а, Ь, с и относительное положение осей — направляющими косинусами mki (k, I = I, 2, 3), преобразование координат какой-либо точки из первой системы X1Y1Z1 во вторую систему XYZ определяется уравнениями вида

переменных в уравнениях преобразования (93) согласно равенствам (94), получим следующую систему уравнений преобразования однородных координат:

Нетрудно сделать вывод, что введение однородных координат упрощает взаимные преобразования произвольно ориентированных относительно друг друга систем координат, сводя эти преобразования лишь к операции умножения матриц одной структуры (квадратных) и устраняя необходимость умножения матриц различной структуры — столбцовых и квадратных. При этом вычислительные операции становятся более однотипными.

Решение матричного уравнения (1) производится аналогично решению аффинерных уравнений (см., например, гл. 16), причем при использовании матриц 4-го порядка и однородных координат решение в точности совпадает с решением тензорных уравнений Д. Манжерона и К. Дрэгана (см. гл. 19). Метод этих авторов основывается на идее, заложенной в рассматриваемом методе Д. Денавита

Уравнения преобразования однородных координат какой-либо точки из системы координат звена /v к системе координат звена /v-1 осуществляются при помощи равенств

Преимущество применения матриц 4-го порядка путем введения однородных координат состоит в возможности совмещения операций сдвига и вращения систем координат при их взаимных преобразованиях. Это преимущество было впервые использовано в теории стержневых механизмов Д. Денавитом и Р. Хартенбер-гом [127], а в теории зубчатых механизмов — Ф. Л. Литвиным при исследовании пространственных зубчатых зацеплений [73].

Изложенный метод является эффективным алгебраическим методом исследования и синтеза пространственных механизмов, основанным на использовании однородных координат, которые дают возможность объединить сложное преобразование поступательного и вращательного относительных движений в одной матрице 4-го порядка, представляющей соответствующий тензор второго ранга. Применением однородных координат, а также введением фиктивных звеньев можно уменьшить количество вводимых координатных систем по сравнению с методами, в которых используются неоднородные координаты (С. Г. Кислицына, Г. С. Калицына и др.), и тем самым уменьшить количество вычислительных операций при составлении расчетных уравнений для определения искомых параметров. В этом методе преобразование координат и геометрические связи между звеньями полностью отображаются тензорным или эквивалентным ему матричным уравнением замкнутости механизма, которое распадается на двенадцать уравнений относительно искомых и известных параметров. Из этого числа могут быть отобраны в общем случае шесть наиболее простых уравнений, а остальные уравнения использованы для контроля правильности определения параметров.

Чжан Цы-сянь провел исследования разнообразных пространственных механизмов, в которых широко использован аналитический метод, базирующийся на матрицы 4-го порядка преобразования однородных координат. В этих исследованиях, проведенных под руководством проф. Ф. Л. Литвина, демонстрируется приложение к теории пространственных стержневых механизмов матриц 4-го порядка, впервые успешно использованных последним (и по-видимому независимо от Д. Денавита и Р. Хартенберга [127]) в теории пространственных зацеплений [73].