|
Главная | Контакты: Факс: 8 (495) 911-69-65 | | ||
Однородному уравнениюУравнение (24.27) есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью. Его решение получим суммированием решения однородного уравнения и частного решения: В общем случае элементы матрицы А<0) зависят от е, поэтому решить уравнение (2.5) можно только численным методом. Решение линейного векторного неоднородного уравнения имеет вид где К(е)—фундаментальная матрица решений однородного уравнения; С — вектор начальных данных; YI<°> — частное решение неоднородного уравнения. Компоненты вектора начальных данных С определяются из краевых условий на концах стержня (при е=0 и при 8=1). Рассмотрим алгоритм численного определения матрицы К(е) и частного решения Y^. Матрица К(е) может быть получена из решения однородного уравнения Полагая uXt = и0е^', получим (для однородного уравнения) характеристическое уравнение Я4 + 4аг4 = 0, корни которого Я1р2 = = ± (/—1)0^; Я3,4= ± (i + l)a,. В результате получаем решение однородного уравнения (4.144): Числовые значения коэффициентов bvi можно определить следующим образом. Любая матрица вида К=К<0)(е)В, где В — постоянная матрица, также является решением однородного уравнения. Матрицу В нужно выбрать такой, чтобы при е=0 матрица К(0) была единичной; для этого достаточно взять матрицу В равной обратной матрице К°(0), т. е. Рассмотрим общий метод решения неоднородного уравнения (4.151). Вначале получим решение однородного уравнения (4.151), Зная собственные векторы Y<^, получаем две фундаментальные матрицы, столбцы которых есть действительные и мнимые части векторов Y R, _п . однородного уравнения Получим частные решения однородного уравнения (5.99), соответствующие корням Ki. Для корня ,A-i = 0 получаем систему однородных уравнений относительно си (компонент вектора С) вида Окончательно получаем общее решение однородного уравнения: Определение фундаментальной матрицы решений К(е) методом итераций (методом Пикара). Общее решение системы линейных неоднородных уравнений имеет вид (2.6) Y(e)=K(e)C+Y1(e), где матрица К(е) удовлетворяет однородному уравнению удовлетворяющий краевым условиям задачи. В этом случае надо только один раз численно получить матрицу К(е). Для большей наглядности рассмотрим случай, когда имеет место пропорциональное увеличение нагрузки с коэффициентом пропорциональности р. Тогда для каждого заданного р('> находим вектор Y*(m). Определив вектор Y* для заданного значения p(J), решаем уравнение (3.96), которое приводится к однородному уравнению действительная и мнимая части которых удовлетворяют однородному уравнению (4.151). Выясним физический смысл критической скорости. Однородному уравнению (7.186) удовлетворяет решение вида Решим сначала это уравнение обычным методом приведения к однородному уравнению при начальных условиях: t = О, ц = 0, у = 0. Исключение этих пяти произвольных величин приведет к линейному однородному уравнению, связывающему величины V°x, V°, V^, р, q, r, коэффициенты которого будут функциями от qb q% . . ., «75- Интерпретация этого уравнения даст высказанную теорему. (В m 201 Treatise of natural Phylosophy Тэта и Томсона можно найти описание механизма, позволяющего осуществить такого рода связи.) где UK(XI, х2) — дополнительное решение, удовлетворяющее однородному уравнению, соответствующему (60). По аналогии с решением для изотропного материала примем Можно показать, что решение (120) удовлетворяет однородному уравнению, соответствующему (60). Функция U (xit х2) должна обращаться в ноль на контуре поперечного сечения. Подставляя (120) в (119) и сравнивая результат с уравнением (112), можно заключить, что граничное условие удовлетворяется, если Положив в разрешающем уравнении (7.10) рх = О, р9 = О и заменив рг на полученное значение фиктивной нагрузки pf, придем к однородному уравнению Таким образом, выражение (2.63) удовлетворяет однородному уравнению, соответствующему (2.62), при четырех значениях «4: Для исследования вопроса о динамической устойчивости обратимся к однородному уравнению, получаемому из (6.7) при Q = 0. Разложим функции G, P, К. в ряды Фурье. Поскольку /1 = р~2 (dll/dcp.,.)2 четная функция, а//]/а = O.Sd/i/dqx,., имеем Рекомендуем ознакомиться: Однородной продукции Однородной зернистой Однородного анизотропного Однородного распределения Однородном растяжении Однородность распределения Однородности напряженного Односторонней процедуре Образование поверхностей Односторонне накапливаемой Односторонних деформаций Одноступенчатый центробежный Одноступенчатых центробежных Одноступенчатого цилиндрического Одноступенчатом подогреве |