Огибающая последовательных

перепишем уравнение огибаемой поверхности (3) в неподвижную систему координат

Для решения задачи об отсутствии подрезания колес при нарезании определялись предельные точки характеристик на производящей поверхности. Для нахождения предельных точек на огибаемой поверхности использовались уравнения (9) и (9а).

Положим, что уравнение огибаемой поверхности, связанной с системой координат Xi, уг, zlt имеет вид

Взаимоогибаемые поверхности должны быть ограничены по своим размерам, и задача о подрезании зубьев сводится к нахождению предельных точек огибаемой поверхности. Такой способ исследования условий подрезания зубьев впервые был применен И. И. Дусевым.

В дифференциальной геометрии [1] для отыскания предельных точек огибаемой поверхности указывается следующий способ решения.

Для отыскания предельных точек огибаемой поверхности можно воспользоваться уравнениями

В настоящей работе предлагается упрощенный способ нахождения предельных точек, пригодный при любой форме уравнений огибаемой поверхности, а также доказываются свойства этих точек.

Определим входящие в это уравнение: е\ — орт нормали к огибаемой поверхности и ki — нормирующий множитель.

Для этого представим радиус вектора гх огибаемой поверхности Zi = /1 (х\, г/i) в следующем виде:

где LI, MI, N! — коэффициенты второй квадратичной формы для текущей точки М огибаемой поверхности. В результате получим:

А. В предельной точке линии контакта (характеристики) огибаемой поверхности вектор скорости и'21) и вектор ускорения Ci21) относительного движения, определенные при ф = 1 рад/сек, где Ф — параметр относительного движения, равны соответственно вектору скорости vlr и вектору ускорения а\г при перемещении по огибаемой поверхности.

Обкатка — метод, основанный на зацеплении зубчатой пары: режущего инструмента и заготовки. Режущие кромки инструмента имеют профиль зуба сопряженной рейки (рис. 6.80, а) или сопряженного колеса (рис. 6.81, а). Боковая поверхность зуба на заготовке образуется как огибающая последовательных положений режущих

По полученной аналитическими расчетами или графическим интегрированием (см. с. 28) зависимости путь — время строится профиль кулачка, как огибающая последовательных положений профиля ведомого звена в его движении относительно ведущего. Для этого используют метод обращения движения: кулачок условно останавливается, а стойке сообщается вращение с угловой скоростью кулачка со, но в противоположном направлении.

Профиль зуба образовывается как огибающая последовательных положений профиля долбяка, построенных относительно заготовки. Огибающая эвольвент является эвольвентой. Следовательно, долбяк с эвольвентным зубом нарезает эвольвентный профиль зуба колеса. За один проход долбяк снимает стружку небольшой толщины, поэтому нерезание зубьев совершается за несколько оборотов заготовки. С каждым оборотом заготовки механизм подачи осуществляет радиальное перемещение долбяка к оси заготовки.

В относительном движении начальная прямая рейки (гребенки) должна катиться по неподвижной окружности колеса или, наоборот, окружность должна катиться по начальной прямой рейки. Огибающая последовательных положений боковых прямолинейных граней рейки в обоих случаях будет, очевидно, эвольвентной.

есть огибающая последовательных положений зуба инструмента относительно заготовки. Таким же образом происходит нарезание и тогда, когда инструмент имеет форму червячной фрезы или форму рейки, поскольку рейку можно рассматривать как зубчатое колесо с бесконечно большим числом зубьев.

По полученной аналитическими расчетами или графическим интегрированием (см. с. 28) зависимости путь — время строится профиль кулачка, как огибающая последовательных положений профиля ведомого звена в его движении относительно ведущего. Для этого используют метод обращения движения: кулачок условно останавливается, а стойке сообщается вращение с угловой скоростью кулачка со, но в противоположном направлении.

Крестообразный ползун / с взаимно перпендикулярными осями скользит в направляющей р. Звено 3 скользит в ползуне / и входит во вращательную пару К со звеном 4, которое скользит в ползуне 5, входящем во вращательную пару А с ползуном 1. Ролик 2 с острым ребром вращается вокруг оси а — а. При движении ползуна 1 вдоль оси х — к направляющей р ролик 2, врезаясь острым ребром в плоскость чертежа, в каждый момент движется вдоль прямой АК. Звено 3 движется в направлении, перпендикулярном к оси х — х. Огибающая последовательных положений прямой АК представляет собой логарифмическую или показательную кривую, уравнение которой

Звено / вращается вокруг неподвижной оси А и входит во вращательную пару В с ползуном 4, скользящим вдоль оси звена 5. Звено ,9 входит во вращательную пару К со звеном 5 и скользит в направляющей а, принадлежащей звену /, ось которой перпендикулярна к направлению АВ. Ролик 2 с острым ребром вращается вокруг оси 6 — Ь. При вращении звена / вокруг неподвижной оси А ролик 2, врезаясь заостренным ребром в плоскость чертежа, в каждый момент движется вдоль прямой ВК. Огибающая последовательных положений этой прямой представляет собой гиперболическую спираль, уравнение которой относительно полюса А в полярной системе координат р<р = а, где р = Л/С; а = АВ', Ф — угол поворота радиуса-вектора р.

Ползун 1 вращается вокруг неподвижной оси А. В ползуне / скользит звено 3. Колесо 2 вращается вокруг оси D — D. При вращении ползуна 1 вокруг неподвижной оси А ролик 2, врезаясь острым краем в плоскость чертежа, в каждый момент движется вдоль прямой, совпадающей с его плоскостью. Огибающая последовательных положений этой прямой представляет собой логарифмическую спираль, уравнение которой в полярных координатах относительно полюса А р = ae^tea, где р = АК', ф — угол поворота радиуса-вектора р; а = АВ — начальная величина радиуса-вектора, е — основание натуральных логарифмов.

Звено 1 вращается вокруг неподвижной оси А и входит в поступательную пару В со звеном 3. Ролик 2 вращается вокруг оси D — D. При вращении звена / вокруг неподвижной оси А ролик 2, врезаясь заостренным ребром в плоскость чертежа, в каждый момент движется по прямой пересечения плоскости чертежа и плоскости ролика 2. Огибающая последовательных положений этой прямой представляет собой эвольвенту, уравнение которой относительно полюса А

Звено / вращается вокруг неподвижной оси А и входит во вращательную пару В с ползуном 5, скользящим вдоль оси звена 4. Звено 3 входит во вращательную пару /С и скользит в направляющей а, принадлежащей звену 1, ось которой перпендикулярна к направляющей АВ. Ролик 2 с острым ребром вращается вокруг оси звена 4. При вращении звена 1 вокруг неподвижной оси А ролик 2, врезаясь острым краем в плоскость чертежа, в каждый момент движется вдоль прямой пересечения плоскости чертежа и плоскости, перпендикулярной к оси вращения ролика. Огибающая последовательных положений ролика 2 представляет собой спираль Архимеда, уравнение которой в полярных координатах относительно полюса А