Окрестности рассматриваемой

Последующее изложение разбито на пять параграфов. Чтение их предполагает большую подготовленность, чем предыдущие главы. Читателю, впервые знакомящемуся с этими вопросами, помимо глав 1 — 4 настоящей книги, можно посоветовать главу 1 книги [41]. § 3 содержит вспомогательный материал по теории точечных отображений и может читаться независимо. При желании чтение главы можно начать с него. § 4 содержит общее описание и исследование движений в малой окрестности произвольной гомо-i линической структуры. Последующее чтение предполагает лишь общее знакомство с содержанием устанавливаемых в нем фактов, а не с самой техникой исследования и доказательства. В § 5 рассматриваются новые для теории колебаний вопросы самогенерации динамической системы стохастических колебаний. Описываются возможные механизмы возникновения стохастичности в динамических системах. Обнаруживается связь между стохастическими колебаниями и гомоклиническими структурами, открытыми еще Пуанкаре. На примерах трехмерных неавтономных систем, близких к двумерным автономным системам, описываются бифуркации, приводящие к стохастизации колебаний. Обнаруживается возможность стохастического синхронизма и выясняются бифуркации, которые приводят к его возникновению.

В малой по сравнению с размерами тела и трещины окрестности произвольной точки контура трещины среда находится в условиях плоской задачи, и при изучении процесса деформирования можно рассматривать трещину как полубосконочную и прямолинейную. При этом для напряжений, смещений, электрического потенциала и электрического поля можно использовать соответствующие асимптотические распределения в малой окрестности точки контура трещины.

Рис. 9.20. Напряжения на гранях элементарного куба в окрестности произвольной точки

В окрестности произвольной точки (например, А), лежащей в плоскости поперечного сечения, выделим элемент (см. рис. 130,6). По его граням, совпадающим с плоскостями поперечных сечений бруса, возникают нормальные напряжения ст, остальные четыре грани от напряжений свободны. Следовательно, выделенный элемент находится в условиях одноосного напряженного состояния и о .= . =
Параметр испытания, характеризующий процесс нагру-жения, аналитически можно представить в виде разложения в степенной ряд в окрестности произвольной точки t0 (предполагается существование производных в этой точке):

В § 5.2 из условий равновесия элементарного параллелепипеда, вырезанного из напряженного тела в окрестности произвольной точки С (рис. 5.1, а), были составлены три из шести уравнений, а именно равенства нулю сумм моментов всех сил, действующих на параллелепипед, относительно трех некомпланарных осей. В результате было получено три зависимости (5.1), выражающие аналитически закон парности касательных напряжений. Составим остальные три уравнения равновесия элементарного параллелепипеда — равенства нулю сумм проекций всех сил, действующих на параллелепипед, на три некомпланарные оси.

Рассмотрим геометрическую картину перемещений и деформаций в окрестности произвольной точки М (х\, Х2, *з) сплошной среды. В результате деформации среды эта точка получит

В малой по сравнению с размерами тела и трещины окрестности произвольной точки контура трещины среда находится в условиях плоской задачи, и при изучении процесса деформирования можно рассматривать трещину как полубесконечную и . прямолинейную. При этом для напряжений, смещений, электрического потенциала и электрического поля можно использовать соответствующие асимптотические распределения в малой окрестности точки контура трещины.

которое представляет 'собой дифференциальное уравнение равновесия в окрестности произвольной точки М тела в проекции на оси декартовой системы координат. Для движущихся материальных точек силы инерции можно выделить из объемных сил и вместо (1.19) для произвольного момента времени t-t написать

В силу произвольности выделенного объема V* тела для единицы его объема в окрестности произвольной точки М получим

Вычислим напряжения на произвольной площадке ABC с вектором нормали v в окрестности произвольной точки О (рис. 6.7). Обозначим (рис.6.7) направляющие косинусы вектора нормали v к площадке ABC величинами 1,т,п.

составим уравнения равновесия четырехгранника, выделенного координатными плоскостями и плоскостью ABC в окрестности произвольной точки нагруженного тела (рис.6.7)

Поскольку в общем случае высшей пары контактирующие поверхности в относительном движении перекатываются со скольжением, пятно контакта в окрестности рассматриваемой точки О будет перемещаться по исследуемому профилю некоторое время /«, определяемое как время зацепления (контакта) его участка АВ за один цикл работы (рис. 8.5). В момент входа в зацепление точки А, опережающей точку О звена 2 на расстояние с, в исследуемой точке О давление минимальное р = р„ш=0; затем оно будет возрастать до р=/7тах, а в момент входа в зацепление точки В, отстающей от исследуемой точки на расстояние с, давление снова упадет до нуля. Поэтому приближенно износ в точке О за цикл работы можно

согласно теореме 7.3, что отображение Т нмссл бесчисленное множество различных кратных неподвижных точек, отвечающих всевозможным различным произведениям вспомогательных отображений ТТ, ..., Т'п. Это говорит об очень сложной структуре точечного отображения Т в окрестности рассматриваемой гомоклинической структуры.

Уточним теперь определение окрестности рассматриваемой гомоклинической структуры. Эта окрестность, назовем ее б, составлена из окрестностей 6^ б2, ..., бш седло-

Для анализа напряженного состояния в точке часто используется такой прием: в окрестности рассматриваемой точки шестью сечениями выделяют элементарный объем в виде параллелепипеда таким образом, что данная точка оказывается внутри этого объема, и выясняют, какие напряжения возникают на гранях этого параллелепипеда.

Поскольку в общем случае высшей пары контактирующие поверхности в относительном движении перекатываются со скольжением, пятно контакта в окрестности рассматриваемой точки О будет перемещаться по исследуемому профилю некоторое время tK, определяемое как время зацепления (контакта) его участка АВ за один цикл работы (рис. 8.5). В момент входа в зацепление точки А, опережающей точку О звена 2 на расстояние с, в исследуемой точке О давление минимальное p=pmin = 0; затем оно будет возрастать до р=/?тах, а в момент входа в зацепление точки В, отстающей от исследуемой точки на расстояние с, давление снова упадет до нуля. Поэтому приближенно износ в точке О за цикл работы можно

так как сечение и поверхность перпендикулярны в окрестности рассматриваемой точки К (см. рис. 11.4, б). Так как поверхность стержня свободна от нагрузок, то т; = 0 и должно быть равно нулю напряжение тг. Таким образом, тк совпадает с тангенциальной составляющей т и касательное напряжение перпендикулярно радиусу.

г0 не имеет смысла лишь при всестороннем равномерном давлении в окрестности рассматриваемой точки напряженного тела. Имея в виду формулы (5.75) и (5.65), получаем

В окрестности рассматриваемой точки выделим элементарный куб с ребрами, длина которых равна единице, а направления совпадают с главными направлениями деформации. Объем такого куба до деформации, равный единице, обозначим V0. В результате деформации куб превратится в прямоугольный параллелепипед (так как сдвиги между главными направлениями деформации равны нулю). Длины ребер этого параллелепипеда суть (1+ej), (1+е2), (1+е3), а объем

Таким образом, первый инвариант тензора деформации представляет собой относительное изменение объема. Такая интерпретация величины и позволяет утверждать, что, выделяя в окрестности рассматриваемой точки всевозможным образом ориентированные бесконечно малые кубики или тела иной формы с центром в этой точке, получим одинаковое относительное изменение объема вследствие деформации каждого из них.

В главе VI было показано, что первый инвариант тензора-деформации равен относительному изменению объема тела в окрестности рассматриваемой точки тела. Так как у девиатора деформации первый инвариант равен нулю, его компоненты характеризуют изменение лишь формы элемента (без изменения его объема). Та доля полной величины компонентов напряжений, которая входит в шаровой тензор напряжения, приводит к изменению лишь объема элемента, без изменения его формы. Вследствие же воздействия на элемент остальной части полной величины компонентов напряжений, т. е. части, входящей в девиатор напряжения, происходит изменение лишь формы элемента, без изменения его объема.

1. Первая теория (теория максимальных нормальных напряжений). Первой теорией предельного состояния материала в локальной области принято называть теорию, в основу которой положена следующая гипотеза: предельное состояние материала, независимо от того, находится ли он в линейном или сложном (плоском или пространственном) напряженном состоянии, наступает при достижении максимальным нормальным напряжением в 'окрестности рассматриваемой точки тела предельной (опасной) вел ич ины аоп.